Lagebeziehungen zwischen zwei Parabeln

Das bedeutet, dass die durch das Gleichsetzen der beiden Funktionen und entstandene gemischtquadratische Gleichung so umgeformt werden muss, dass auf einer Seite der Gleichung eine Null zu stehen kommt. Man bringt also alles auf eine Seite der Gleichung. Ob man alles auf die linke oder alles auf die rechte Seite bringt, ist egal. Nun kann in die Mitternachtsformel eingesetzt werden.

Noch einmal zur Erinnerung:

Der Ausdruck unter der Wurzel wird Diskriminante D genannt.

Die Diskriminante D ist, wie schon bei der Lage von Gerade und Parabel, entscheidend für die Anzahl der Lösungen und gibt daher Aufschluss über die Lage der beiden Parabeln zueinander:

Bekanntlich kann aus einer negativen Zahl keine Wurzel gezogen werden. Daher gibt es keine Lösung, also keine Schnittpunkte der beiden Parabeln und , wenn die Diskriminante D einen negativen Wert ergibt.

Ist D dagegen positiv, kann die Wurzel (zumindest näherungsweise) gezogen werden. Es ergeben sich wegen des vor der Wurzel im Zähler der Mitternachtsformel zwei verschiedene Lösungen für und . Es existieren daher zwei verschiedene Schnittpunkte der beiden Parabeln, wenn die Diskriminante D positiv ist. Die soeben berechneten Werte und sind die x-Koordinaten der beiden Schnittpunkte. Um die jeweiligen y-Koordinaten der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man einmal und einmal entweder in die Funktionsgleichung der Parabel oder in die Gleichung der Parabel für x ein. Wir wählen natürlich immer die einfachere Funktionsgleichung.

Ergibt sich für die Diskriminante D der Wert Null, gibt es genau eine Lösung, also einen Berührpunkt der beiden Parabeln, da sich dann für und der selbe Wert ergibt. (Ob man oder rechnet, ist schließlich egal, es kommt das gleiche Ergebnis heraus.) Die beiden Parabeln berühren sich, wenn die Diskriminante D gleich Null ist. Der soeben berechnete Wert ist die x-Koordinate des Berührpunktes B und wird oft mit bezeichnet. Der Berührpunkt liegt natürlich gleichzeitig auf beiden Funktionen. Daher kann die x-Koordinate entweder in die Funktionsgleichung der Parabel oder in die Gleichung der Parabel für x eingesetzt werden, um die y-Koordinate des Berührpunktes zu berechnen.

Zusammenfassung: Überprüfung der Lagebeziehungen zweier Parabeln und · Parabeln gleichsetzen: · Gleichung nach Null auflösen: ) · Mitternachtsformel anwenden: · Diskriminante D ⇔ 2 Schnittpunkte D = ⇔ 1 Berührpunkt D ⇔ kein gemeinsamer Punkt · eventuell y-Koordinate(n) der Schnittpunkte bzw. des Berührpunktes berechnen, indem die berechnete(n) x-Koordinate(n) in oder eingesetzt werden.

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