Satz von Vieta

Es gilt:

und   

Wir setzen einfach die gegebenen Werte und für und ein.

Die Gleichung lautet somit:

Als letztes Beispiel noch eine etwas schwere Aufgabe.

5. Bsp.:

Der Tafeldienst war ´mal wieder übereifrig und hat schon begonnen die Tafel zu wischen, bevor du alles abgeschrieben hast. Von einer gemischtquadratischen Gleichung hast du nur noch den Anfang abschreiben können:

Du kannst dich aber noch erinnern, dass hinter dem Gleichheitszeichen die Zahl 0 stand. Dir fehlt also eigentlich nur die Konstante c der Gleichung . Die Lösungen der Gleichung weißt du leider auch nicht mehr, nur dass die eine doppelt so großwar wie die andere. Versuche nun mit diesen Angaben wieder auf die komplette Gleichung zu kommen und ihre Lösungen zu berechnen! Kann c mit diesen Vorgaben überhaupt eindeutig berechnet werden?

Lösung:

Gegeben ist hier die Gleichung , wobei die Konstante c unbekannt ist. Wir sollen versuchen, sowohl c als auch die beiden Lösungen und zu ermitteln. Für drei Unbekannte brauchen wir drei Gleichungen. Von den Lösungen und ist bekannt, dass die eine doppelt so großist wie die andere. Sagen wir ´mal, dass die kleinere der beiden Lösungen sein soll. Dann ist genau zweimal so großwie . Als Gleichung geschrieben sieht dieser Zusammenhang dann folgendermaßen aus:

Anmerkung:Die Festlegung, dass die kleinere und entsprechend dann die größere der beiden Lösungen ist, war rein willkürlich. Man hätte es genauso gut umgekehrt machen können. (Dann hätte sich ergeben.)

Wir bleiben hier aber dabei, dass die kleinere Lösung ist, wie oben festgelegt. Es gilt also der oben erwähnte Zusammenhang:

I         

Dies stellt unsere erste Gleichung dar. Nun brauchen wir noch zwei weitere Gleichungen, um die die Unbekannten , und c berechnen zu können. Da kommt uns nun der Satz von Vieta zu Hilfe, der sich allerdings auf  normierte quadratische Gleichungen anwenden lässt. Daher normieren wir unsere vorliegende quadratische Gleichung.

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(Diesen Zwischenschritt kannst du natürlich auch weglassen.)

Nun kannst du bestimmt selbst ablesen, was hier dem p und q der allgemeinen normierten Form einer quadratischen Gleichung entspricht.

Es gilt:

Laut Satz von Vieta gilt:        und   

Auf unsere Gleichung bezogen bedeutet dies:

und   

Das sind schon die anderen beiden Gleichungen, die wir noch brauchen! Wir schreiben uns alle drei Gleichungen noch einmal übersichtlich zusammen.

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