Die h-Methode

Da die Brücke zuerst steiler und dann immer flacher wird, kann ein durchschnittlicher Wert der Steigung keine Hilfe bei der genauen Berechnung des Neigungswinkels der Brücke in einem bestimmten Punkt sein. Daher ist die Tangentensteigung, d.h. die lokale Änderungsrate des Funktionswertes, unerlässlich für die Berechnung des Neigungswinkels einer Kurve in einem bestimmten Kurvenpunkt. Daran kannst du die Wichtigkeit des Differenzialquotienten erahnen.

Fassen wir zum Abschluss dieses Beispiels noch einmal kurz zusammen, was du daran lernen solltest:

Von der mittleren Änderungsrate, also der Sekantensteigung, ist die lokale Änderungsrate in einem Punkt, also die Tangentensteigung in diesem einen Kurvenpunkt, zu unterscheiden: Mittlere Änderungsrate (Sekantensteigung zwischen und ) Differenzenquotient Lokale Änderungsrate (Tangentensteigung in ) Differenzialquotient bzw. mit mit

Nun zur nächsten Beispielaufgabe.

8. Bsp.:Beschleunigung

Ein Auto beschleunigt aus dem Stand. Seine Geschwindigkeit in nach t Sekunden kann mit Hilfe der Zeit-Geschwindigkeitsfunktion berechnet werden, welche zumindest für eine gewisse Zeit den Zusammenhang zwischen der vergangenen Zeit t (in Sekunden) und der erreichten Geschwindigkeit v (in ) beschreibt.

a.)  Erstelle eine Wertetabelle für die ersten vier Sekunden in Schritten von 0,5 Sekunden und zeichne den Graph für . (Maßstab:t- Achse:1 cm = 0,5 Sekunden;v- Achse:1 cm = 5 )

b.) Erkläre an diesem Beispiel, was man unter der absoluten Änderung der Geschwindigkeit  und der mittleren Änderung der Geschwindigkeit versteht. Wodurch unterscheidet sich davon die momentane Änderung der Geschwindigkeit? Was bedeuten in diesem Zusammenhang die Begriffe „Differenzenquotient“ und „Differenzialquotient“ anschaulich?

c.)  Berechne die mittlere Beschleunigung des Autos von der ersten bis zur dritten Sekunde.

d.)  Welche momentane Beschleunigung wirkt auf das Auto genau 3 Sekunden nach dem Start?

Lösung:

Zu 8a.)

Das Erstellen der Wertetabelle und das Zeichnen des Funktionsgraphen dürfte kein Problem für dich darstellen. Daher keine weitere Erklärung dazu.

Wertetabelle zu für mit △t = 0,5

t in s	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4
v in	0	0,3	1,2	2,7	4,8	7,5	10,8	12,25	19,2

Abb.:Graph der Funktion für

Zu 8b.)

Die Änderung bezeichnet man als absolute Änderung der Geschwindigkeit. Sie gibt an, wie stark sich die Geschwindigkeit des Autos innerhalb eines bestimmten Zeitintervalls ändert, aber nicht in Bezug auf die dabei vergangene Zeit △t.

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