1. Flächenberechnungenmit Hilfe von Integralen
Dieser Trick ist natürlich nur dann hilfreich, wenn du die Gleichung 
, die bei der Berechnung der Grenzen zwangsläufig zu lösen ist, sowieso nach Null umstellen musst, um nach x aufzulösen. Andernfalls berechnest du das Integral der oberen Funktion minus der unteren Funktion bzw. das Integral der einen Funktion minus der anderen Funktion und setzt Betragsstriche um das Integral.
Es kann eventuell sein, dass der Ausdruck 
, der auf der einen Seite der nach Null umgestellten Gleichung steht, schon zusammengefasst ist und somit nicht mehr direkt als erkennbar ist. Das macht aber nichts. Im Gegenteil, das ist sogar praktisch, denn es geht schneller, wenn du gleich den bereits zusammengefassten Ausdruck integrierst!
Sollte dir das alles noch nicht so ganz klar sein, keine Bange! Jetzt schauen wir uns das soeben beschriebene Verfahren an den konkreten Aufgaben an.
Zu 7a.)
Gesucht ist die Fläche zwischen den beiden Funktionen:
Berechnung der Integrationsgrenzen: 
und 
gleichsetzen
Anmerkung:Wir haben hier 
ausgeklammert, um die Gleichung zu lösen. Stattdessen hättest du auch nur x ausklammern können. Hauptsache, es entsteht eine Gleichung der Form „Produkt gleich Null“, denn dann können die Faktoren des Produkts einzeln gleich Null gesetzt werden. Du weißt:Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist. Du hättest daher auch folgendermaßen rechnen können:
Nun kennen wir die x-Koordinaten der Schnittpunkte von und , also die Integrationsgrenzen. Die kleinere ist x = -4;das ist unsere untere Grenze. Die obere Grenze ist demnach x = 0.
Nun haben wir zwei Alternativen:
Wir können wir uns entweder überlegen, welche der beiden Funktionen die Fläche oben begrenzt und welche unten, und berechnen dann ohne Betrag das Integral der oberen minus der unteren Funktion mit -4 als untere und 0 als obere Grenze.
Oder wir wenden den oben beschriebenen Trick an, d.h. wir verwenden den Betrag und bilden einfach das Integral von 
, das ist nämlich der Ausdruck, der in der soeben gelösten Gleichung auf der linken Seite steht, nachdem man nach 0 umgestellt hat.
Welche Methode du wählst, bleibt dir überlassen. Das ist reine Geschmackssache. Es hängt vor allem davon ab, ob du dir den Verlauf der Graphen gut vorstellen kannst oder nicht. Im Folgenden werden beide Wege vorgeführt.
1. Methode:Integral der oberen minus der unteren Funktion (ohne Betrag) berechnen
Erst einmal überlegen wir uns, wie die Graphen von 
aussehen.
