Quadratische Ergänzung (zur Scheitelberechnung)

Hier das Ergebnis noch einmal, aber mit Dezimalzahlen geschrieben, soweit das ohne Runden möglich ist:

2. Bsp.:

Peter ist ein 1,80 Meter großer Junge. Wir denken uns seinen Körperschwerpunkt in Höhe seines Bauchnabels, welcher sich 112,5 cm über dem Boden befindet. Nun springt Peter von einem 5-Meter-Brett ins Wasser. Sein Körperschwerpunkt beschreibt dabei eine parabelförmige Flugbahn mit der Gleichung , wobei x die Sprungweite in Meter und die Höhe des Körperschwerpunkts über der Wasseroberfläche auch in Metern darstellt.

Welche maximale Höhe über der Wasseroberfläche erreicht Peter (genau genommen sein Körperschwerpunkt)?

Lösung:

Es handelt sich bei der Funktion um eine quadratische Funktion. Daher ist der Graph natürlich eine Parabel. Die Parabel ist nach unten geöffnet, da ist.

(Wiederholung:a ist die Zahl, welche vor steht. Wenn a negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet!).

Weil die Parabel nach unten geöffnet ist, ist der Scheitel das absolute Maximum. Wir müssen daher den Scheitelpunkt der Funktion h berechnen. Dazu benötigt man die Scheitelform der Parabel. Man erhält sie, indem man zuerst a ausklammert und danach quadratisch ergänzt:

1. Schritt: a ausklammern

2. Schritt: Quadratische Ergänzung

(d.h. wir ergänzen zu einer binomischen

Formel, indem wir die Zahl vor dem x

halbiert und danach quadriert zuerst addieren und dann wieder subtrahieren)

3. Schritt:Binomische Formel umformen

Zusammenfassen

4. Schritt:a in die eckige Klammer hineinmultiplizieren

Umgerechnet in Dezimalzahlen: Vergleiche:Scheitelform (allgemein):

Scheitel S (2,5| 8 ) Scheitel S(

Die y-Koordinate des Scheitels ist

D.h. Peter erreicht eine maximale Sprunghöhe von 8m.

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