Lagebeziehungen zwischen zwei Parabeln
Nun folgt noch ein deutlich anspruchsvolleres Beispiel. Es ist nur für Schüler eines Gymnasiums, der FOS /BOS oder einer Realschule (mathematischer Zweig) ab der 9. Klasse geeignet. Realschüler anderer Zweige können dieses Beispiel übergehen, da es Parabelscharen enthält und diese sind kein Lehrstoff der Realschulen (nicht-mathematische Zweige) in Bayern.
4. Bsp.:
Welche Parabeln der Schar 
y = 
mit k 
ℝ berühren die Parabel 
?
Lösung:
Lass´dich bitte nicht davon abschrecken, dass hier eine Parabelschar in der Aufgabe vorkommt! Wie immer, wenn es um die Lage zweier Parabeln geht, setzen wir die beiden Funktionsgleichungen erst einmal gleich und bringen dann alles auf eine Seite der Gleichung. Das noch unbekannte k ist bloßeine irgendeine Zahl und soll uns nicht weiter stören. Wir rechnen einfach so, als wenn k eine Zahl wäre. (k ist ja auch wirklich eine konkrete Zahl und keine Variable wie x oder y!)
Natürlich ist k noch nicht bekannt, denn hier ist eigentlich die Frage, was k sein muss, damit 
die andere Parabel p berührt! Man hätte diese Aufgabe nämlich auch anders formulieren können:Für welche Werte von k berührt die Parabel p? Oder:Für welches k hat genau einen gemeinsamen Punkt mit der Parabel p? Und wie lautet die Gleichung von jeweils für diesen Wert von k?
Das bedeutet für uns, dass k so berechnet werden muss, dass die folgende Gleichung genau eine Lösung hat, also dass die Diskriminante den Wert Null annimmt.
Nun haben wir eine gemischtquadratische Gleichung vor uns. Sie enthält zusätzlich zur Unbekannten x auch den Scharparameter k. Doch k stellt schließlich nur eine Konstante dar, also eine feste (zwar momentan noch unbekannte) Zahl. k müssen wir schließlich herausfinden. Trotzdem ist x die Variable. Daher ist die Gleichung nach fallenden Potenzen von x (und nicht etwa von k) geordnet. Das ist wirklich wichtig!
Wie oben schon erklärt, kann k berechnet werden, indem man die Diskriminante D bildet und dann gleich Null setzt. Weil sich die beiden Funktionen laut Angabe berühren sollen, haben sie genau einen gemeinsamen Punkt. Unsere Gleichung darf daher nur eine Lösung besitzen und das ist der Fall, wenn gilt: D = 0
Nun berechnen wir die Diskriminante 
in Abhängigkeit von k, d.h. ohne für k etwas Konkretes einzusetzen. (Wir wissen ja noch nicht, was k ist. Deshalb können wir auch nichts für k einsetzen.) Damit es für dich einfacher ist, zu erkennen, was in unserer Gleichung den a, b und c aus der Mitternachtsformel entspricht, ist in der folgenden Gleichung alles in Rot geschrieben, was a entspricht, alles in Blau geschrieben, was b entspricht, und alles in Grün geschrieben, was c entspricht. So dürfte es nun kein Problem mehr für dich sein, die Diskriminante D zu berechnen.
