Lagebeziehungen zwischen zwei Parabeln
Parabelscharen überprüft werden soll, setzen wir die beiden Funktionsgleichungen als erstes gleich. Dadurch entsteht eine gemischtquadratische Gleichung, deren linke Seite (vgl. unten) wir mit Hilfe der zweiten binomischen Formel vereinfachen. Wir können sie mit der Mitternachtsformel erst dann lösen, wenn nach Null aufgelöst ist. Daher formen wir die Gleichung entsprechend um, d.h. wir bringen alles auf eine Seite der Gleichung. Wir ordnen nach absteigenden Potenzen von x, da man sonst nicht erkennen kann, was den Formvariablen a, b und c aus der Mitternachtsformel bzw. der Diskriminante entspricht. Also los geht´s!
Nun haben wir das Problem, dass sich 
und 
nicht richtig zusammenfassen lassen. Wir müssen sie aber zusammenfassen, da wir sonst nicht wissen, was in dieser Gleichung dem b aus der Mitternachtsformel entspricht. Was also tun? Der Trick ist eigentlich gar nicht schwer:Wir klammern aus und einfach x aus! Geschickt ist es, x hinter die Klammer zu schreiben und nicht wie beim gewöhnlichen Ausklammern nach vorne. Warum, das wird gleich klar. Jetzt klammern wir erst einmal x aus, natürlich nur aus 
, aber nicht aus dem 
.
Warum haben wir nun das x hinter die Klammer gestellt? Wir wollen die Gleichung schließlich auf die Form 
bringen und da steht das x ja auch hinter dem b! Es soll doch nachher die Mitternachtsformel angewendet werden bzw. die Diskriminante berechnet werden können. In der Form, wie wir die Gleichung jetzt geschrieben haben, lässt sich viel besser als vorher ablesen, was a, b und c ist. Zur Verdeutlichung hier noch einmal die selbe Gleichung, allerdings alles, was a entspricht in Rot, alles, was b entspricht in Blau und alles, was c entspricht in Grün dargestellt:
a
b b
Da in der Aufgabenstellung nach den Werten von k gefragt ist, dass die Parabel p und die Schar 
entweder genau einen, keinen oder zwei Punkte gemeinsam haben, müssen wir die Diskriminante 
in Abhängigkeit von k, d.h. ohne für k etwas Konkretes einzusetzen, berechnen. Dann unterscheiden wir die folgenden Fälle:
Nun ermitteln wir die Werte von k, dass die beiden Funktionen genau einen gemeinsamen Punkt haben. Dies ist der einfachste Fall, da hier nur D gleich Null gesetzt werden muss. Es entsteht dadurch noch einmal eine neue gemischtquadratische Gleichung, allerdings dieses Mal mit der Unbekannten k. Mit der Mitternachtsformel kann k dann ermittelt werden.
