Definitionsmenge ermitteln bei e- und ln- Funktionen

Du erkennst das besser, wenn du die Parabel in der Form schreibst. (Bekanntlich sind Parabeln nach unten geöffnet, wenn a <0 gilt. Für a >0 sind sie nach oben geöffnet. Mehr dazu bei:Parabeln zeichnen) Die Breite der Parabel ist dabei an sich nebensächlich. Es handelt sich bei allerdings um eine nach unten geöffnete Normalparabel, da die Zahl vor dem gleich -1 ist. Siehe Abbildung!

Abb.:Skizze der nach unten geöffneten Parabel mit ihren Nullstellen x = 2 und x = -2

Aus der Skizze kann man dann ablesen, für welche Werte von x die Ungleichung erfüllt ist. Dazu musst du bloßschauen, wo die Parabel oberhalb der x-Achse verläuft, und den entsprechenden Bereich auf der x-Achse aus der Zeichnung ablesen. Das ergibt direkt die Lösung der Ungleichung .

In der folgenden Abbildung ist der entsprechende Bereich der Parabel hellblau markiert und der gesuchte Bereich auf der x-Achse rot.

Abb.:Zur graphischen Lösung von

Aus der Zeichnung lesen wir jetzt ab:

Die Ungleichung ist somit erfüllt für alle Zahlen, die im Intervall liegen. Dies entspricht der gesuchten Definitionsmenge der Funktion .

Zu 2f.)

Gesucht:

Das Argument des natürlichen Logarithmus muss positiv sein. Es ist daher folgende Ungleichung zu lösen:

Es handelt sich wie schon wieder um eine quadratische Ungleichung, also um eine Ungleichung mit , allerdings kommt in dieser Ungleichung neben auch noch x auf. Das war bei den quadratischen Ungleichungen in Teilaufgabe 2d. und 2e. nicht der Fall. Die Vorgehensweise bleibt dennoch im Prinzip gleich. Du kannst wieder entweder den rein rechnerischen oder den teils graphischen Lösungsweg anwenden. Hier wieder beide Verfahren:

1. Methode die quadratische Ungleichung zu lösen:Rein rechnerischer Weg

Wir faktorisieren die linke Seite der Ungleichung, d.h. wir formen die vorliegende Differenz in ein Produkt um. Hier geht das leider nicht so leicht wie in den vorherigen Teilaufgaben, weil sich keine binomische Formel anwenden lässt. Ausklammern lässt sich auch nichts.

Um den Term zu faktorisieren, bleibt uns nur der folgende Weg:Term gleich Null setzen, mit der Mitternachtsformel nach x auflösen und dann zum Faktorisieren die Zahl vor der höchsten x-Potenz hinschreiben, dahinter in Klammern immer x und jeweils eine der berechneten Lösungen mit umgedrehtem Vorzeichen.

Sollte du das noch nicht ganz verstehen, ist das nicht schlimm:Schau dir einfach die folgende Lösung an, dann wird es hoffentlich klarer.

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