Das Newton-Verfahren
Die exakte Lösung der Gleichung lässt sich nämlich nicht ermitteln. Das leuchtet dir hoffentlich ein, denn wie sollte man die Gleichung denn exakt lösen? Nicht klar? Dann versuche doch ´mal diese Gleichung nach x aufzulösen! Du wirst schnell merken, dass es nicht klappt.
Nähere Erklärungen, warum sich diese Gleichung nicht exakt nach x auflösen lässt.
Dass die Gleichung 
jedoch eine Lösung haben muss, wird klar, wenn man sich die Graphen der beiden Funktionen 
und 
in einem gemeinsamen Koordinatensystem anschaut. Vergleiche dazu die folgende Abbildung! Offensichtlich gibt es zwei Schnittpunkte und somit zwei Lösungen unserer Gleichung. Die erste Lösung x = 0 lässt sich leicht ablesen, doch bei der anderen Lösung wird es schwierig. Man sieht zwar, dass sich die beiden Funktionsgraphen 
und 
irgendwo im positiven Bereich, genauer gesagt zwischen 0,5 und 1, schneiden, doch wo dieser Schnittpunkt genau liegt, lässt sich mit bestem Willen nicht sagen. In der Aufgabenstellung ist allerdings gerade nach der positiven Lösung der Gleichung 
gefragt. Also müssen wir die x-Koordinate genau dieses Schnittpunkts zumindest näherungsweise (auf drei Dezimalen genau) ermitteln. Dass das Newton-Verfahren angewendet werden soll, stand schon in der Angabe. Eine andere Möglichkeit, die Gleichung zu lösen, steht dir momentan sowieso nicht zur Verfügung. (Es gibt zwar noch andere Iterationsverfahren, mit deren Hilfe sich die Gleichung näherungsweise lösen ließe, doch diese Verfahren musst du nicht beherrschen. Sie sind nicht Abiturstoff. Daher wollen wir hier nicht näher darauf eingehen.)
Abb.:Die Graphen der Funktionen 
und 
. Sie schneiden sich an der Stelle x = 0 und ungefähr bei x = 0,8.
Also los geht´s mit dem Newton-Verfahren. Zuerst bringen wir die Gleichung auf die benötigte Form 
. D.h. wir stellen die Gleichung so um, dass alles auf einer Seite der Gleichung steht. Entscheiden wir uns ´mal dafür, alles nach links zu bringen. Dann ergibt sich:
Die linke Seite der Gleichung bildet die Funktion 
des Newton-Verfahrens. Es gilt somit:
In der oben gezeigten Abbildung lesen wir so genau wie möglich die x-Koordinaten der Schnittpunkte von und ab. Betrachte dazu noch einmal die Zeichnung oben! Die Graphen schneiden sich an der Stelle x = 0 und ungefähr bei x = 0,8.
Wir brauchen nur den positiven Wert 0,8, da in der Aufgabe schließlich nach der positiven Lösung der Gleichung gefragt ist. Den Wert 0,8 verwenden wir als Startwert 
für das Newton-Verfahren.
