Das Newton-Verfahren
Mit n = 1 ergibt sich aus der allgemeinen Iterationsvorschrift die Formel für den zweiten Näherungswert 
:
Durch Einsetzen des ersten Näherungswertes erhält man:
(2. Näherungswert)
Der zweite Näherungswert 0,876822914 weicht vom ersten Näherungswert 0,885637845 bereits ab der zweiten Nachkommastelle ab. Die gewünschte Genauigkeit von drei Dezimalen ist somit noch nicht erreicht. Weiter geht es daher mit dem dritten Näherungswert. Wir setzen den soeben berechneten zweiten Näherungswert wieder in die Iterationsvorschrift ein.
(3. Näherungswert)
Die Lösung soll auf drei Dezimalen gerundet angegeben werden. Um auf drei Dezimalen zu runden, muss man die vierte Nachkommastelle kennen, um zu wissen, ob an der dritten Nachkommastelle abgerundet oder aufgerundet werden muss. Da der dritte Näherungswert 0,876726227 jedoch schon an der vierten Nachkommastelle vom zweiten Näherungswert 0,876822914 abweicht, kennen wir die vierte Nachkommastelle der Lösung noch nicht. Momentan wissen wir nur, dass die Lösung x = 0,876… ist. Daher berechnen wir nun zusätzlich den vierten Näherungswert. Dazu setzen wir den dritten Näherungswert in die Iterationsvorschrift ein.
(4. Näherungswert)
Erst ab der achten Nachkommastelle unterscheidet sich der dritte Näherungswert 0,876726227 vom vierten Näherungswert 0,876726215. Diese Genauigkeit reicht uns jetzt locker. Die Lösung muss also 0,8767262… lauten. Wir sollen die Lösung schließlich nur auf drei Dezimalen genau angeben. Die vierte Nachkommastelle des vierten Näherungswertes 0,876726215 ist die Ziffer 7. Bekanntlich wird bei Ziffern ab 5 die vorherige Stelle aufgerundet;daher müssen wir an der dritten Nachkommastelle aufrunden, um die Lösung auf drei Dezimalen genau anzugeben. Die gesuchte Lösung lautet auf drei Dezimalen gerundet 
.
Fertig!
