Das Newton-Verfahren

Wenn eine Gleichung mehrere Lösungen hat, die näherungsweise berechnet werden sollen, muss für jede Lösung einzeln das Newton-Verfahren mit entsprechend unterschiedlichen Startwerten durchgeführt werden. Da dies mit einem erheblichen Tippaufwand auf dem Taschenrechner verbunden ist, wird dies sicher nicht im Abi oder einer anderen Prüfung verlangt. In Prüfungen musst du sicher nur eine Lösung näherungsweise berechnen. Warum sollte auch mehrmals das gleiche Prinzip gefragt werden? Entweder du kannst es oder eben nicht. Deshalb macht es für einen Lehrer keinen Sinn, dich mehrere verschiedene Lösungen näherungsweise jeweils mit dem Newton-Verfahren ausrechnen zu lassen.

Geeignete und ungeeignete Startwerte

Das Newton-Verfahren hat den großen Vorteil, dass es sehr schnell recht gute Näherungswerte für die gesuchte Lösung a einer Gleichung der Form liefert, wenn der Startwert geschickt gewählt ist. Leider kann es auch passieren, dass sich bei schlechter Wahl des Startwerts die berechneten Werte überhaupt nicht an die gesuchte Lösung a annähern. Das Newton-Verfahren muss also nicht zwangsläufig immer bessere Näherungen für die exakte Lösung a liefern. Betrachte dazu die folgende Abbildung!

Abb.:Wenn ein ungeeigneter Startwert ist, entfernen sich die Werte immer weiter von der tatsächlichen Nullstelle a

Ob das Newton-Verfahren  immer bessere Näherungswerte für die genaue Lösung einer Gleichung ergibt, hängt im jeweiligen Fall allein von der Wahl des Startwerts ab.

Es kann dir daher passieren, dass sich die Werte, die du Schritt für Schritt mit der Iterationsformel berechnet hast, immer weiter von der tatsächlichen Lösung a entfernen, also immer stärker von a abweichen. Dann hast du einen ungeeigneten Startwert gewählt. Da hilft nur eines:Neuen Startwert verwenden und alles noch einmal von vorne durchrechnen! Jetzt denkst du dir bestimmt:„O Gott, was für ein Rechenaufwand! Das ist ja schrecklich!“

Woran kannst du also, schon bevor du die ersten Näherungswerte berechnet hast, erkennen, ob dein Startwert geeignet ist? Gehen wir davon aus, dass der Startwert relativ nah an der gesuchten Lösung a liegt. Das alleine garantiert jedoch noch nicht, dass das Newton-Verfahren funktioniert, also wirklich ganz sicher immer bessere Näherungswerte liefert.

Wenn sich die Näherungswerte … immer mehr an die exakte Lösung a annähern, sagt man übrigens, die Folge der Näherungswerte konvergiert gegen (d.

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