Einfache Ableitungsregeln
(Das war übrigens der Grund, warum wir vorher bei 
soweit möglich ausgeklammert haben:Weil sich die Gleichung 
mit ausgeklammertem x sehr viel leichter lösen lässt!)
Dass der Faktor 
gleich Null wird, wenn man x = 0 setzt, erkennt man auch ohne weitere Rechnung. Du kannst aber natürlich auch folgendermaßen vorgehen:
Nun muss noch der zweite Faktor 
gleich Null gesetzt werden.
Das kann man auf zwei verschiedene Arten lösen. Entweder durch Umstellen und Wurzelziehen (Achtung:Plus/Minus nicht vergessen!) oder mit Hilfe der dritten binomischen Formel. Wir wollen uns beide Rechenwege kurz anschauen. Dann kannst du dir denjenigen heraus suchen, der dir besser liegt:
1. Variante: Umstellen und Wurzelziehen
Die erste Lösung war schon , daher jetzt die Bezeichnung 
.
2. Variante:Mit Hilfe der dritten binomischen Formel 
Und noch einmal:Ein Produkt ist gleich Null, wenn ein Faktor Null ist. Man darf also die beiden Klammern einzeln gleich Null setzen. Dabei erkennt man sofort, dass die erste Klammer für x = + 1 und die zweite Klammer für x = – 1 Null ergibt. Da die erste Lösung (Vergleiche oben!) bereits war, bezeichnen wir diese Lösungen mit 
und 
. Somit gilt:
und 
Egal, wie man rechnet, man erhält immer die drei Lösungen: 
und
Jetzt müssen aber noch die zugehörigen y-Koordinaten berechnet werden. Dazu setzt man die soeben berechneten Werte für x nacheinander in die Funktionsgleichung 
ein.
Hier noch einmal die Funktionsgleichung: 
Dies sind nun die Koordinaten der Punkte mit waagrechten Tangenten. Wir haben sie hier mit 
und 
bezeichnet. (W wegen Punkt mit waagrechter Tangente.) Das musst du aber nicht unbedingt so machen. Die Benennung bleibt an sich dir selbst überlassen.
Das gerade vorgestellte Beispiel zeigte zwei ganz typische Anwendungen der ersten Ableitung. Diese Art von Aufgaben solltest du unbedingt können! Das nächste Beispiel beschäftigt sich mit der Ableitung von Funktionen mit Parametern, d.h. mit weiteren „Buchstaben“ wie zum Beispiel a, b oder t in der Funktionsgleichung. Hast du dich eigentlich schon einmal gefragt, warum man für die Ableitung immer 
und nicht nur 
schreibt? (Gelegentlich findet sich zwar auch die Schreibweise y´. Doch das ist in der Schule eher selten und zumindest am Anfang auch nicht wirklich empfehlenswert.)
Das x in der Klammer gibt nämlich an, dass nach x abgeleitet wird. Bisher war das klar, denn es kam ja gar kein anderer Buchstabe in der Funktionsgleichung vor, so dass x zwangsläufig diejenige Variable war, nach der abgeleitet werden sollte. Doch das wird sich beim nächsten Beispiel gleich ändern.
