Die h-Methode

Man nennt dies auch die lokale Änderungsrate von im Punkt P. Auf den Begriff der lokalen Änderungsrate wird im 7. Bsp. und 8. Bsp. weiter unten noch ausführlich eingegangen.

Mit Hilfe des Differenzialquotienten kann die erste Ableitung an der Stelle berechnet werden. Mit ist nichts anderes als die Tangentensteigung an der Stelle gemeint; entspricht somit unserer alten Bezeichnung m für die Steigung.

Wir halten fest: Die Tangentensteigung im Kurvenpunkt wird auch erste Ableitung, kurz Ableitung, der Funktion genannt. Man schreibt dafür: Die Tangentensteigung an der Stelle kann mit Hilfe des Differenzialquotienten durch Grenzübergang (d.h. Berechnung des Grenzwertes) ermittelt werden. Wenn dieser Grenzwert existiert, sagt man:Die Funktion ist an der Stelle differenzierbar. Man kann die Steigung der Funktion, d.h. die Tangentensteigung, an dieser Stelle berechnen. Das Berechnen der Ableitung an einer bestimmten Stelle nennt man „lokales differenzieren“ bzw. „lokales ableiten“ der Funktion . Die Ableitung gibt die lokale Änderungsrate im Kurvenpunkt an. Die Ermittlung von an einer beliebigen Stelle x heißt allgemein „differenzieren“ oder „ableiten“. Es gibt aber auch Funktionen, deren Steigung in vereinzelten Punkten nicht berechnet werden kann. Hat eine Funktion beispielsweise einen Knick, kann an dieser Stelle die Steigung der Funktion, also ihre Ableitung, nicht angegeben werden. Dort ist die Funktion nicht differenzierbar. Mehr dazu findest du im Kapitel Stetigkeit und Differenzierbarkeit.

Nun wollen wir aber endlich besprechen, wie mit Hilfe des Differenzialquotienten die Tangentensteigung der Funktion an der Stelle berechnet werden kann.

Du weißt: bedeutet, dass für x der Wert 1 in die Funktionsgleichung, also in unserem Beispiel in , eingesetzt werden soll.

Entsprechend bedeutet , dass für x der Ausdruck 1 + h in die Funktionsgleichung, also in unserem Beispiel in , eingesetzt werden soll.

Daher gilt:

Wir benutzen die erste binomische Formel , um die Klammer zu quadrieren:

Die Zahlen 1 und -1 im Zähler heben sich weg. Das müssen sie auch unbedingt, weil sie kein h enthalten. Es muss nämlich grundsätzlich alles wegfallen, was kein h enthält. (Sonst könnte man nachher nämlich h nicht ausklammern. Vergleiche nächster Schritt!)

Wir klammern im Zähler h aus, das ergibt:

Nun kürzen wir h weg:

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