Die h-Methode

Da jetzt kein h mehr im Nenner steht, kann nun der Grenzwert berechnet werden. D.h. Man kann jetzt endlich h gleich Null setzen. Wir setzen also für h jetzt wirklich genau die Zahl Null ein. Dadurch wird aus der Sekantensteigung genau die Tangentensteigung.

Das Gleichnullsetzen von h klappt nun auch, weil h nach dem Kürzen nicht mehr im Nenner steht und somit der Nenner nicht mehr gleich Null wird, wenn man h gleich Null setzt. Vorher hätten wir h nicht gleich Null setzen können, weil dann eben der Nenner Null ergeben hätte und die Division durch Null bekanntlich nicht definiert ist.

Wir rechnen den Limes aus, indem wir für h die Zahl Null einsetzen:

Die Steigung der Tangente an die Funktion im Punkt ist daher genau 2.

Und noch einmal alles allgemein zusammengefasst:

Mit der h-Methode kann die Steigung der Tangente zu einer Funktion in einem bestimmten Punkt ermittelt werden.

Abb.:Zur h-Methode, in rosa das Steigungsdreieck der Sekante (Der Hilfspunkt H wird immer näher an den festen Punkt P geschoben, d.h. h geht gegen Null, so dass letztendlich aus der Sekante die Tangente und aus der Sekantensteigung die Tangentensteigung wird.)

Die Grundzüge der h-Methode: Zur Berechnung der Tangentensteigung einer Funktion im Punkt Der gegebene Kurvenpunkt hat die Koordinaten . Man denkt sich einen weiteren Kurvenpunkt H als Hilfspunkt. Der Unterschied der x-Koordinaten von P und dem Hilfspunkt H wird h genannt. Daher hat der Hilfspunkt H die Koordinaten . Vergleiche Abbildung oben! Dabei gilt: Die Sekantensteigung wird dabei mit der folgenden Formel ermittelt:  Nun schiebt man den Hilfspunkt H an den gegebenen Punkt heran;d.h. man lässt den Abstand h der beiden x-Koordinaten beliebig klein werden, also gegen Null gehen. Wenn h gegen Null geht, wandert der Hilfspunkt H immer näher an P heran und aus der Sekantensteigung wird die Tangentensteigung im Punkt P. Die Tangentensteigung einer Funktion kann daher mit dem folgenden allgemeinen Ansatz berechnet werden: Das Ergebnis dieses Grenzwertes ist eine Zahl, welche die Steigung der Tangente an den Graph an der Stelle angibt.

Hinweis:Die Berechnung der Ableitung mit Hilfe des Differenzialquotienten, also mit der h-Methode, ist ziemlich umständlich. Zu Beginn musst du die Ableitung einer Funktion leider auf jeden Fall selbständig mit dem Differenzialquotienten berechnen können. Es handelt sich bei der h-Methode allerdings um einen Rechenweg, den du nur momentan brauchst. Später können wir erfreulicherweise komplett darauf verzichten.

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