Die Kettenregel

Sie bleibt bekanntlich beim Ableiten einfach stehen;es wird nur der Rest abgeleitet. Da lnx abgeleitet ergibt, ist lnv (nach v) abgeleitet . Wir müssen hier natürlich noch nachdifferenzieren, also mit multiplizieren, weil v hier schließlich die von x abhängige, innere Funktion darstellt. Somit ergibt sich:

Fertig!

Wichtiger Hinweis:

Alle Funktionen der Form lassen sich ganz leicht ableiten. Es gilt dann nämlich immer bzw. oder kurz . Einfacher gesagt:Man nimmt einfach die Funktion hinter dem ln, leitet sie ab und dividiert das Ganze noch durch diese Funktion. Der ln verschwindet beim Ableiten komplett. Nach diesem Prinzip ergeben sich beispielsweise auch die Ableitungen folgender Funktionen:

Dieses Prinzip solltest du dir gut merken. Erstens erleichtert es dir oftmals die Arbeit beim Ableiten und zweitens werden wir später beim Integrieren (bitte nicht „Hochleiten“ sagen), also wenn man rückwärts von der Ableitung auf die Funktion schließen oder eine Stammfunktion F(x) zu finden soll, darauf zurückkommen.

Zu 6i.) Hier noch einmal die abzuleitende Funktion:

Dass wir beim Ableiten dieser Funktion wieder die Kettenregel brauchen dürfte klar sein. Es ist die innere Funktion. Sie bleibt also beim Ableiten erst mal stehen und wird anschließend nachdifferenziert, also nachher abgeleitet. Da abgeleitet ergibt, ist entsprechend (nach v) abgeleitet . Da v hier aber für die von x abhängige, innere Funktion steht, muss mit nachdifferenziert werden. Somit gilt hier:

Entweder lässt man die Ableitung so stehen oder man schreibt:

Hoffentlich hast du nun das Prinzip der Kettenregel wirklich verstanden. Die Kettenregel ist eine der wenigen Regeln, die zwar in der Merkhilfe bzw. Formelsammlung zu finden sind, die aber in ihrer mathematisch korrekten Form für die meisten Schüler völlig unverständlich ist.

Übrigens Vorsicht:Manchmal werden die Bezeichnungen u und v für innere und äußere Funktion genau umgekehrt verwendet wie auf dieser website. In der Merkhilfe wird es allerding genauso wie auf dieser website geschrieben, also u für die äußere und v für die innere Funktion. Es ist einfach blöd, dass man sich nicht einmal innerhalb von Bayern für eine einheitliche Bezeichnung einigen konnte. Du musst daher genau aufpassen, wie dein Lehrer die entsprechenden Bezeichnungen bei der Kettenregel wählt. Am besten du merkst dir einfach die Kettenregel in der folgenden Form:

Äußere Funktion ableiten, dabei (statt x) die innere Funktion hinschreiben, also die Innere erst einmal stehen lassen und danach mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren (nachdifferenzieren).

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