Die Kettenregel

Die häufigsten Fehler beim Ableiten verketteter Funktionen:

Weil gar nicht erkannt wurde, dass eine verkettete Funktion vorliegt, wird das Nachdifferenzieren vergessen oder es werden äußere und innere Funktion gleichzeitig abgeleitet, was natürlich falsch ist!

Angabe Falsche Ableitung Korrekte Ableitung

Äußere und innere Funktion gleichzeitig abgeleitet, das ist natürlich falsch!!!

Nachdifferenzieren vergessen, das ist natürlich falsch!!!

7. Bsp.:Fehlersuche

Peter X. hat seine liebe Not mit der Kettenregel. Er hat seine Mathe-Hausaufgabe selbst gemacht, doch er ist sich ziemlich sicher, dass dabei noch nicht alles stimmt. Deshalb hat er dich um Hilfe gebeten. (In der Angabe der Aufgabe stand, dass die gegebenen Funktionen abgeleitet werden sollen.) Schau´dir seine Ergebnisse an und verbessere sie soweit nötig. Erkläre ihm auch, warum seine Ergebnisse zum Teil falsch sind. Was hat Peter X. also beim Differenzieren der gegebenen Funktionen jeweils falsch gemacht? (Es sind übrigens nicht alle seine Ergebnisse falsch.)

Hier die Ergebnisse von Peter X.:

Lösung:

Zu Peters erstem Ergebnis:

Das Ergebnis ist nicht ganz richtig, denn er hat das Nachdifferenzieren mit -1 vergessen. Die Funktion ist eine verkettete Funktion. Die innere Funktion wird hier durch gebildet. Die Ableitung der inneren Funktion ist . Laut Kettenregel muss aber beim Ableiten einer verketteten Funktion am Schluss noch mit der Ableitung der inneren Funktion nachdifferenziert werden, d.h. mit multipliziert werden. Genau das hat Peter jedoch vergessen. Er hat zwar die äußere Funktion korrekt abgeleitet und die innere dabei stehen gelassen, doch fehlt am Ende das Nachdifferenzieren mit -1. Das korrekte Ergebnis lautet:

Zu Peters zweitem Ergebnis:

Das Ergebnis von Peter ist total falsch, weil er scheinbar gar nicht erkannt hat, dass hier eine verkettete Funktion vorliegt, die man natürlich mit der Kettenregel ableiten muss. Er hat nämlich einfach die äußere Funktion und die innere Funktion mehr oder weniger gleichzeitig abgeleitet. Er hätte aber zuerst nur die Ableitung der äußeren Funktion bilden und dabei statt x die innere Funktion hinschreiben müssen. Erst danach hätte er mit der Ableitung der inneren Funktion, also in diesem Fall mit nachdifferenzieren / multiplizieren müssen. Das richtige Ergebnis lautet nämlich:

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