3.Volumenberechnungen von Rotationskoerpern mit Hilfe von Integralen

·        Ermittlung der Umkehrfunktion :

Anmerkung:Ist eine Funktion in der angegebenen Definitionsmenge streng monoton (also nur steigend oder nur fallend), kommt man auf die Wertemenge , indem man die Randpunkte der Definitionsmenge in die Funktionsgleichung einsetzt.

In diesem Beispiel ist die Definitionsmenge laut Angabe . Die Randpunkte liegen somit bei x = 0 und x = 2,5. Diese beiden Zahlen müssen wir daher in einsetzen:

Somit ergibt sich die Wertemenge . Wir benötigen die Wertemenge , da sich daraus die Definitionsmenge der Umkehrfunktion und somit die Integrationsgrenzen a = 0 und b = 10 ergeben.

Jetzt bilden wir die Umkehrfunktion. Statt schreiben wir als erstes y:

Nun vertauschen wir x und y gegeneinander;ab dann liegt schon vor:

Dies ist bereits die Umkehrfunktion . Sie ist aber noch nicht nach y aufgelöst;wir brauchen jedoch in der nach y aufgelösten Form. Deshalb stellen wir im nächsten Schritt nach y um:

In unserem Fall gilt das Pluszeichen. Das erkennt man an der Wertemenge der Umkehrfunktion, die bekanntlich der Definitionsmenge der Funktion selbst entspricht. Somit gilt hier:

Bei der Umkehrfunktion dürfen also keine negativen Werte herauskommen, sondern nur Zahlen von 0 bis 2,5. Dies ist der Grund, warum das Minuszeichen vor der Wurzel wegfällt.

Die gesuchte Umkehrfunktion lautet daher:

Oder anders geschrieben:

·        Berechnung des Volumens mit der Formel:

Die Integrationsgrenzen ergeben sich aus der Definitionsmenge der Umkehrfunktion bzw. der Wertemenge der Funktion . Wegen müssen wir von a = 0 bis b = 10 integrieren.

Mit a = 0 und b = 10 sowie ergibt sich:

Damit du dir die Zusammenhänge besser vorstellen kannst, fertigen wir eine Skizze an, die den Graph der Funktion mit x [0;2,5] und den Graph der zugehörigen Umkehrfunktion zeigt. Der Graph rotiert um die y-Achse;der Graph der Umkehrfunktion rotiert dagegen um die x-Achse. Betrachte dazu die folgende Abbildung!

Abb.:Zur Berechnung des Volumens des Sektkelches mit Hilfe der Umkehrfunktion:Durch die Rotation des Graphen der Umkehrfunktion mit x [0;10] um die x-Achse entsteht ein Rotationskörper, der das gleiche Volumen hat wie der Rotationskörper, der durch die Rotation des Graphen der Funktion mit x [0;2,5] um die y-Achse entsteht.

Nun müssen wir nur noch das Integral ausrechnen.

Integration nach dx liefert:

0
0
0
0