Die Stammfunktion F(x) und einfache Integrationsregeln

Nur 7d.) und 7e.) kommen daher als Stammfunktionen zu in Frage.

Abb. 7d.) Graph einer Stammfunktion

Abb. 7e.) Graph einer Stammfunktion

Bloßwelche der beiden ist es nun? Ganz einfach:

An Abb. 7.2 erkennt man, dass der Graph für unterhalb der x-Achse verläuft. Deshalb muss die zugehörige Stammfunktion G für auf jeden Fall streng monoton fallend sein.

Umgekehrt ist der Graph für und für oberhalb der x-Achse. In diesen Bereichen muss die Stammfunktion jeweils streng monoton steigend sein.

Weil die Stammfunktion für fällt und für steigt, muss bei ein Tiefpunkt (Minimum) der Stammfunktion sein.

Abb. 7e.) zeigt den Graph einer Stammfunktion G von .

Abb.:Der Graph und der Graph der zugehörigen Stammfunktion G gemeinsam dargestellt

Jetzt noch zur letzten der drei Funktionen, zur Funktion .

Falls du bei den vorherigen beiden Funktionen noch nicht selbständig den Graph der Stammfunktion zugeordnet hast und nur die Lösung gelesen hast, solltest du es jetzt auf jeden Fall alleine probieren!

Die Vorgehensweise hast du hoffentlich inzwischen verstanden. Immer zuerst ablesen, wo die Nullstellen der Funktion selbst liegen. An den Stellen, wo Nullstellen hat, hat Punkte mit waagrechten Tangenten (Extrema oder Terrassenpunkte der Stammfunktion). Einer einfachen Nullstelle von h entspricht ein Extremum von H;einer doppelten Nullstelle von h entspricht ein Terrassenpunkt von H. Dann schauen, in welchen Bereichen der Funktionsgraph oberhalb (bzw. unterhalb) der x-Achse liegt. Dadurch weißt du, in welchen Bereichen die Stammfunktion steigt (bzw. fällt).

Hier noch einmal der Graph der Funktion .

Abb. 7.3 Graph der Funktion

Du hast inzwischen hoffentlich alleine versucht auf die Lösung zu kommen.

Zu deiner Kontrolle:Abb. 7a.) gehört zu einer Stammfunktion H von .

Warum? Die Nullstellen von liegen bei (doppelte Nullstelle) und bei (einfache Nullstelle). Daher muss die Stammfunktion bei und bei Punkte mit waagrechten Tangenten besitzen. Bei hat einen Terrassenpunkt, bei ein Extremum. Für verläuft oberhalb der x-Achse, daher muss für der Graph der Stammfunktion steigen. Das gleiche gilt für . Auch hier ist oberhalb der x-Achse und deshalb muss die Stammfunktion für streng monoton steigend sein. Erst für verläuft unterhalb der x-Achse, daher muss für der Graph der Stammfunktion fallen.

Wir fassen unsere Überlegungen in einer Tabelle zusammen.

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