a.) Unterschied zwischen Ableitung f´(x0) an einer bestimmten Stelle x0 und der Ableitungsfunktion f´(x)

Meist wird einfach kurz als „Ableitung“ der Funktion bezeichnet, so auch oft auf dieser website. Streng genommen handelt es sich bei aber um die sogenannte Ableitungsfunktion. Nicht nur , sondern auch stellt eine eigene Funktion dar.

Beachte:Von der Ableitungsfunktion ist die  Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle zu unterscheiden. (Mit ist – im Gegensatz zu x – eine konkrete, feste Zahl gemeint. Achtung:x stellt eine Variable/veranderliche Zahl dar. Daher kann x verschiedene Werte annehmen, wogegen eine bestimmte, festgelegte Zahl ist.)

Mit ist daher die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle gemeint. Laut Definition gilt:Die Steigung einer Funktion in einem festen Kurvenpunkt entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen in diesem Punkt. Du kannst also den Begriff der Kurvensteigung immer mit dem der Tangentensteigung an dieser Stelle gleichsetzen. Somit ist die Tangentensteigung der Funktion in diesem einen Kurvenpunkt .

Daraus folgt: Die Ableitung in einem bestimmten Punkt ist eine Zahl, welche die Tangentensteigung in diesem Punkt angibt, und nicht wie die Ableitungsfunktion eine ganze Funktion!

Unterscheide daher genau zwischen und . Der erste Ausdruck ist die Tangentensteigung im festen Kurvenpunkt , der zweite Ausdruck ist dagegen eine eigene Funktion, welche jedem x den Wert der Steigung der Funktion an dieser Stelle zuordnet. Die y-Koordinate eines Punktes auf der Ableitungsfunktion entspricht also immer der Steigung der Funktion an der jeweiligen Stelle x.

Konkretes Beispiel:

ist die Steigung der Tangente im Kurvenpunkt einer Funktion . In diesem Beispiel ist . lasst sich ausrechnen, wenn man kennt, entweder umstandlich mit Hilfe des Differenzialquotienten oder mittels der Ableitungsregeln. (Siehe:Einfache Ableitungsregeln) Wir verwenden im Folgenden immer die Ableitungsregeln. Wenn du die Ableitungsregeln noch nicht gelernt hast oder in einer bestimmten Aufgabe nicht verwenden darfst, musst du die Ableitung leider mit dem Differenzialquotienten bilden. (Naheres unter:Herleitung der Tangentensteigung aus der Sekantensteigung mittels des Differenzialquotienten)

Nehmen wir als konkretes Beispiel die Funktion . Dann ist die Ableitungsfunktion . Die y-Koordinaten der Ableitungsfunktion entsprechen dabei jeweils der Steigung der Funktion an der Stelle x. Die Steigung der Funktion an der Stelle ist somit . Die Funktion hat also an der Stelle die Steigung 6. (Durch das Einsetzen der gegebenen x-Koordinate in die Ableitungsfunktion hat man also die Tangentensteigung von an dieser Stelle ausgerechnet.)

Die Ableitung ist also eine konkrete Zahl, welche die Tangentensteigung an der festen Stelle angibt. Im Gegensatz dazu ist die Ableitungsfunktion. ist also eine richtige Funktion, wie auch selbst. Die Ableitung ist schlie?lich noch von x abhangig und stellt somit naturlich ebenfalls eine Funktion dar.

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