Art der Extrema mit 2. Ableitung zu 8. Bsp.

Die zweite Ableitung beschreibt die relative Veränderung der Steigung des Funktionsgraphen . Dies entspricht der Krümmung des Graphen .

Mit Hilfe der zweiten Ableitung lässt sich ganz schnell herausfinden, ob ein Punkt mit waagrechter Tangente ein Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkt ist. Man muss nur die entsprechende x-Koordinate des zu untersuchenden Punktes mit waagrechter Tangente in die zweite Ableitung einsetzen. Ergibt sich dabei ein positives Ergebnis, liegt ein Tiefpunkt (TIP) vor;ergibt sich ein negatives Ergebnis, liegt ein Hochpunkt (HOP) vor. Das wird dir bestimmt sofort klar, wenn du dir die beiden Skizzen unten links anschaust.

Bei einem TIPmuss der Graph eine waagrechte Tangente besitzen und links gekrümmt sein und daher gilt: und zugleich

Bei einem HOPmuss der Graph eine waagrechte Tangente besitzen und rechtsgekrümmtsein und daher gilt: und zugleich

Erhältst du beim Einsetzen in genau den Wert Null, handelt es sich vermutlich um einen Terrassenpunkt (TEP).

Bei einem TEP hat der Graph eine waagrechte Tangente und es ändert sich die Krümmung des Graphen von links nach rechts oder umgekehrt. In einem Terrassenpunkt ist der Graph also weder links- noch rechtsgekrümmt, er ist in diesem Punkt gar nicht gekrümmtund daher gilt: und zugleich

Dass es sich wirklich um einen TEP handelt, muss aber erst noch nachgewiesen werden. Ein Terrassenpunkt ist bekanntlich ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente. Man muss also zeigen, dass wirklich ein Wendepunkt an dieser Stelle vorliegt. Bei einem Wendepunkt, und somit auch bei einem Terrassenpunkt, muss nicht nur gelten;es muss sich auch das Vorzeichen der zweiten Ableitung ändern. Dies kann entweder mit Hilfe des Krümmungsverhaltens, z.B. mit einer Krümmungstabelle, nachgewiesen werden oder mit der dritten Ableitung, falls ihr im Unterricht besprochen habt. (Die dritte Ableitung beschreibt die relative Veränderung der Krümmung. Das musst du nicht unbedingt wissen. Nur wenn ihr in der Schule tatsächlich besprochen habt, kannst du die dritte Ableitung benutzen, um einen Wendepunkt bzw. Terrassenpunkt nachzuweisen. Die dritte Ableitung darf an dieser Stelle nicht gleich Null sein. Man bildet also und setzt die entsprechende x-Koordinate des vermutlichen Terrassenpunkts in ein. Damit bei sicher ein TEP vorliegt, muss neben und auch gelten.)

Zusammenfassung:  Art der Extrema mit f´´(x) untersuchen * *Wenn ein Vorzeichenwechsel von an der Stelle vorliegt bzw. gilt. Mit ist übrigens eine konkrete x-Koordinate, also eine bestimmte Zahl, gemeint. Das Zeichen bedeutet „und zugleich“.

In diesem Zusammenhang sprechen manche Lehrer oft von einer sogenannten „notwendigen“ und von einer „hinreichenden“ Bedingung für die Existenz eines Extremums. Wahrscheinlich denkst du dir dabei:Was ist denn damit bloßwieder gemeint? Die Begriffe „notwendige“ und „hinreichende“ Bedingung tauchen in der Mathematik öfter auf, nicht nur bei der Definition eines Extremums, sondern beispielsweise auch bei Wendepunkten oder Terrassenpunkten. Im Folgenden werden die beiden Begriffe „notwendige“ und „hinreichende“ Bedingung speziell für die Existenz eines Extremums erklärt.

Damit an der Stelle sicher ein relatives Extremum (HOP oder TIP) vorliegt und nicht etwa ein Terrassenpunkt, muss neben auch entweder (TIP) oder (HOP) gelten. Man kann also sagen, dass bei einem Extremum gelten muss. Dies ist zusammen mit der Bedingung eine sogenannte „hinreichende“ Bedingung für einen Extrempunkt. Damit meint ein Mathematiker, dass die Bedingungen und zugleich ausreichend (hinreichend) sind, damit ganz sicher bei ein Extremum vorliegt. Wenn die Bedingung alleine gilt,  muss jedoch nicht zwangsläufig ein Extremum vorliegen. bedeutet alleine nur, dass der Funktionsgraph an der Stelle nicht die Krümmung 0 hat, d.h. er muss entweder links- oder rechtsgekrümmt sein. Nur weil der Graph nach links oder nach rechts gekrümmt ist, muss hier aber noch lange kein Extremum sein. Umgekehrt muss aber der Graph nach rechts gekrümmt sein, wenn ein HOP vorliegt, bzw. er muss nach links gekrümmt sein, wenn ein TIP vorliegt.

Nur zusammen mit der für ein Extremum „notwendigen“ Bedingung (waagrechte Tangente) lässt die Bedingung eindeutig den Schluss zu, dass die Funktion an der Stelle sicher einen Extrempunkt aufweist.

Für ein Extremum notwendige Bedingung:

Das heißt, dass diese Bedingung erfüllt sein muss, damit überhaupt ein Extremum vorliegen kann. Ein Punkt muss eine waagrechte Tangente, also die Steigung haben, damit es sich um ein Extremum handeln kann. Da aber auch Terrassenpunkte eine waagrechte Tangente besitzen, erfüllen auch sie die Bedingung . Es kann sich daher an der Stelle entweder um ein Extremum oder einen Terrassenpunkt handeln. Von der Bedingung kann also noch nicht sicher auf die Existenz eines Extremums an der Stelle geschlossen werden. (Dazu braucht man noch eine hinreichende Bedingung.) Damit aber überhaupt ein Extremum vorliegen kann, ist es notwendig, dass erfüllt ist. Daher die Bezeichnung „notwendige“ Bedingung.

Für ein Extremum hinreichende Bedingung:    1. Möglichkeit:Vorzeichenwechsel von

2. Möglichkeit:

Das heißt, dass eine dieser Bedingungen ausreicht (hinreichend ist), damit man ganz sicher sagen kann, dass an der Stelle ein Extremum sein muss.

Warum man vom Vorzeichen von auf die Art der Extrema schließen kann, wird noch ausführlicher besprochen im Kapitel Zweite Ableitung f´´(x)Der Nachweis eines Terrassenpunktes mit wird im Kapitel Wendepunkte mit dritter Ableitung nachweisen erläutert.

Jetzt aber wieder konkret zu unserem Beispiel. Es sollen Art und Lage der Extrema von berechnet werden.

Hier noch einmal die Funktionsgleichung:   

Wir haben bereits berechnet:

Jetzt bilden wir die zweite Ableitung , indem wir noch einmal mit Hilfe der Ableitungsregeln differenzieren (ableiten).

Erste Ableitung (von oben):   

Zweite Ableitung:

Wenn dir nicht klar ist, wie man von auf kommt, wiederhole noch einmal das Kapitel Einfache Ableitungsregeln. Um zu bilden, leitet man die erste Ableitung einfach noch einmal ab. Die Ableitungsregeln wurden also noch einmal auf die erste Ableitung angewendet. Dadurch erhält man .

Jetzt klammern wir bei noch den Faktor 6 aus. Das muss zwar nicht sein, doch sieht das Ergebnis dann etwas schöner aus. (Bei hätte man dies übrigens auch schon machen können.) Dadurch erhalten wir:

Nun müssen wir die x-Koordinaten der Punkte mit waagrechten Tangenten, hier und , in die zweite Ableitung einsetzen.

Im Prinzip sind wir jetzt schon fertig. Bei  x = 2 liegt also ein relativer Tiefpunkt vor und bei x = -5 ein relativer Hochpunkt. Die entsprechenden y-Koordinaten haben wir oben schon berechnet. (Vorsicht:Nicht die Ergebnisse der zweiten Ableitung jeweils als y-Koordinate verwenden! stellt ja die Krümmung an dieser Stelle und nicht y dar! Die Funktionswerte und sind hier die y-Koordinaten. Vergleiche oben!) Wir schreiben die Koordinaten der Extrema noch schön auf. Sie lauten:

Mit der zweiten Ableitung geht die Unterscheidung zwischen HOP, TIP und TEP wirklich recht leicht. Nun wirst du dir vielleicht denken, dass du die andere Methode mit der Monotonie gar nicht mehr brauchst. Leider muss ich dich da enttäuschen! Du solltest trotzdem auch das Monotonieverhalten einer Funktion überprüfen und daraus auf eventuell vorhandene Extrema schließen können. Warum? Erstens gibt es Aufgaben, wo die Monotonie speziell überprüft werden soll, und zweitens wirst du es bald mit Funktionen zu tun bekommen, die sich nicht so schnell ein zweites Mal ableiten lassen. Wer hat denn schon Lust über eine halbe Seite nur an der zweiten Ableitung herumzurechnen, wenn man sonst gar nicht braucht, weil beispielsweise weder Wendepunkte noch das Krümmungsverhalten von gefragt ist. Da verwendet man doch lieber das Monotonieverhalten, um die Art der Extrema zu untersuchen. Falls du beim Erstellen von Monotonietabellen noch Probleme hast – und das haben zu Beginn viele Schüler – solltest du noch einmal zurückgehen zum 8. Bsp., dort wird es im Folgenden ganz ausführlich besprochen, wie man eine Monotonietabelle erstellt. Lies dir das also auch die Methode mit der Monotonie genauestens durch, auch wenn die Aufgabe jetzt mit Hilfe von bereits gelöst ist!

Ausführliche Lösung zu Bsp. 4b.)

Hier noch einmal alle gegebenen Graphen:

Abb. 7	Abb. 8	Abb. 9
Abb. 10	Abb. 11	Abb. 12

Welcher Graph stellt die Ableitungsfunktion von welchem dar? Wir sollen möglichst viele zusammengehörige Paare von Funktion und Ableitungsfunktion finden.

Lösung:

Abb. 7 stellt die Ableitung von Abb. 9 dar.

Abb. 10 stellt die Ableitung von Abb. 12 dar.

Abb. 11 stellt die Ableitung von Abb. 8 dar.

Erklärungen zur Lösung:

Wie kommt man darauf, dass nur Abb. 7 die Ableitung von Abb. 9 zeigen kann?

Betrachte noch einmal Abb. 9!

Der in Abb. 9 gezeigte Graph ist für eine fallende Gerade mit der Steigung -1 und für eine steigende Gerade mit der Steigung +1. (Es handelt sich bei Abb. 9 übrigens um den Graph der Funktion , die um 1 nach rechts verschobene Betragsfunktion.) Die Ableitung entspricht bekanntlich der Steigung der Funktion. Somit muss die Ableitung der in Abb. 9 gezeigten Funktion für konstant -1 und für konstant +1 sein. Die Ableitungsfunktion muss zwangsläufig für die waagrechte Gerade und für die waagrechte Gerade sein.

An der Stelle ist der in Abb. 9 gezeigte Graph nicht differenzierbar, d.h. man kann die Steigung der Tangente dort nicht eindeutig ermitteln. Der Graph der in Abb. 9 gezeigten Funktion hat hier eine Spitze. Man weißalso nicht, ob an der Stelle für die Steigung -1, +1 oder irgendein anderer Wert gilt. Die Ableitung ist an der Stelle deshalb nicht definiert, was zu einer Definitionslücke der Ableitungsfunktion bei führt. Nun betrachte noch einmal die Abbildungen 7 bis 12!

Was stellst du dabei fest?

Nur Abb. 7 erfüllt alle soeben beschriebenen Bedingungen.

Abb. 9

Abb. 7

Vorsicht:Abb. 10 kann nicht die Ableitung von Abb. 9 sein, da der in Abb. 10 gezeigte Graph für die waagrechte Gerade und für die waagrechte Gerade zeigt. D.h. die Vorzeichen wären falsch.

Vergleiche dazu noch einmal Abb.10!

Abb. 10

Abb. 10 ist die Ableitung einer Funktion, die für  konstant mit der Steigung +1 steigt und für konstant mit der Steigung -1 fällt. Diese Bedingung erfüllt der Graph in Abb. 12. Daher stellt Abb. 10 die Ableitung von Abb. 12 dar. (In Abb. 12 ist übrigens der Graph der Funktion dargestellt;das ist die um 1 nach rechts verschobene und an der x-Achse gespiegelte Betragsfunktion.)

Abb. 12

Abb. 10

Wie kommt man darauf, dass Abb. 11 die Ableitung von Abb. 8 darstellt?

Betrachte dazu erst noch einmal Abb. 8!

Abb. 8

Der in Abb. 8 dargestellte Graph hat bei eine waagrechte Tangente. Daher muss die zugehörige Ableitungsfunktion bei eine Nullstelle besitzen. Für fällt der Graph, so dass die zugehörige Ableitungsfunktion unterhalb der x-Achse liegen muss. Für steigt der Graph, so dass die zugehörige Ableitungsfunktion oberhalb der x-Achse liegen muss. Für betragsmäßig große x (ganz weit links bzw. rechts im Koordinatensystem) verläuft der in Abb. 8 gezeigte Graph immer flacher;die Steigung nähert sich an Null an. Daher muss sich die zugehörige Ableitungsfunktion für x gegen an Null annähern. Die Ableitungsfunktion zu der in Abb. 8 dargestellten Funktion hat deshalb zwangsläufig die x-Achse als waagrechte Asymptote. Diese Bedingungen erfüllt nur der in Abb. 11 gezeigte Graph. Deshalb kann nur Abb. 11 die Ableitungsfunktion zu der in Abb. 8 dargestellten Funktion zeigen.

Abb. 8

Abb. 11

Andere Paare aus Funktion und Ableitungsfunktion gibt es nicht.

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