Variante 3
Bist du darauf gekommen, dass man zuerst ein Minus, genauer gesagt die Zahl -1, ausklammern und dann die dritte binomische Formelanwenden muss?
Ausklammern von -1 im Zähler ergibt:
Anwendung der dritten binomischen Formel: 
Nun kann der Faktor 
gekürzt werden.
Als letztes führen wir den Grenzübergang durch, d.h. wir setzen nun 
für x ein:
Vorsicht an dieser Stelle:Wirklich 
für x einsetzen und nicht andersherum!
steht ja für eine feste Zahl und x für die variable x-Koordinate des Hilfspunktes H. Es soll schließlich der Hilfspunkt ( 
immer näher an den festen Punkt ( 
herangeschoben werden. Die x-Koordinate x des Hilfspunktes H soll sich also beliebig nah an die feste Stelle annähern. In anderen Worten:x geht gegen und nicht umgekehrt.
Der Term 
entspricht der Steigung der Funktion 
in einem allgemeinen festen Kurvenpunkt ( 
.
Nun lässt sich jeweils die Steigung der Funktion in den angegebenen Punkten P(2|f(2)), Q(3|f(3)) und R(4|f(4)) berechnen, indem wir für nacheinander die Werte 2, 3 und 4 einsetzen:
Das ist die Steigung der Funktion im Punkt P(2|f(2)).
Das ist die Steigung der Funktion im Punkt P(3|f(3)).
Das ist die Steigung der Funktion im Punkt P(4|f(4)).
Die Aufgabe ist damit gelöst.
Betrachte trotzdem noch einmal den Ausdruck 
!
Wenn man dabei statt einfach x schreibt, erhalten wir die sogenannte Ableitungsfunktion 
der Funktion 
.
Für die Funktion gilt also:
Die Ableitungsfunktion 
beschreibt die relative Veränderung der Funktionswerte von 
.
Je stärker sich die Funktionswerte von im Vergleich zu x ändern, desto steiler verläuft der Graph der Funktion . Umgekehrt verläuft der Graph von umso flacher, je weniger sich die Funktionswerte relativ zu x ändern. Die relative Veränderung der Funktionswerte entspricht daher dem Steigungs- bzw. Monotonieverhalten der Funktion . Das Berechnen der Ableitungsfunktion bezeichnet man als globales Differenzieren.
Um mit Hilfe von die Steigung von in einem bestimmten Kurvenpunkt 
zu berechnen, muss dann bloßnoch die gegebene x-Koordinate 
des Kurvenpunktes in die Ableitungsfunktion eingesetzt werden und schon hat man die Steigung 
der Funktion 
in diesem Kurvenpunkt. Das Berechnen der Ableitung 
an einer bestimmten Stelle nennt man lokales Differenzieren.
Wenn wir einen Weg finden, wie wir die Ableitungsfunktion schnell und einfach ermitteln könnten, also auch ohne Differenzialquotient, wäre es ganz einfach, die Tangentensteigung bzw.
