Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Abb.:Graph 
mit 
zwischen den beiden Tangenten 
und 
, sowie dem 
An der Zeichnung erkennt man, dass der Knickwinkel 
in diesem Fall stumpf sein muss. Der berechnete Winkel 
ist noch nicht der gesuchte Knickwinkel, weil er kleiner als 90° ist. Wir müssen den ermittelten 81,87°-Winkel noch von 180° abziehen;dadurch ergibt sich dann der Knickwinkel.
Der Knickwinkel beträgt somit auf zwei Dezimalen gerundet 98,13°. (Mit der 1. Methode ergab sich 98,14°. Die Abweichung in der zweiten Stelle nach dem Komma ist auf Rundungsfehler zurückzuführen.) Die 2. Methode liefert den genaueren Wert, da hierbei nicht so häufig gerundet wurde.
Hoffentlich leuchtet dir die Berechnung des Knickwinkels nun ein. Weiter geht es mit einer ganz anderen Art von Aufgabe. Für alle Schüler der FOS (nicht-mathematisch/technischer Zweig) ist die folgende Aufgabenstellung nicht mehr Abiturstoff. (Wundere dich nicht, wenn du in älteren Abschlussprüfungen der FOS noch ähnliche Aufgaben findest;sie wurden erst in den letzten Jahren vom Lehrplan gestrichen.) Für Schüler der FOS (nicht-mathematisch/technischer Zweig) ist hier das Ende dieses Teils. Für alle anderen noch ein letztes, wichtiges Beispiel.
4. Bsp.: 
Ermittle die Werte der Koeffizienten a und b so, dass die Funktion 
an der Stelle 
stetig und differenzierbar ist!
Lösung:
Um a und b berechnen zu können, brauchen wir zwei Gleichungen mit den Unbekannten a und b. (Um zwei Unbekannte zu berechnen, benötigt man ja immer zwei Gleichungen.) Die erste Gleichung ergibt sich aus der Stetigkeit, die zweite aus der Differenzierbarkeit an der Stelle 
. Die Stelle ist hier sogar schon in der Aufgabenstellung erwähnt. Dass dies die interessante Stelle ist, ergibt sich aber auch direkt aus der Funktionsgleichung, weil bei die Nahtstelle der beiden Teilfunktionen liegt. Die eine Teilfunktion gilt schließlich für 
und die andere für 
. Wie bekommt man jetzt aber die benötigten Gleichungen? Hast du dafür eine Idee?
Kleiner Denkanstoß:Rechne erst einmal so, als wenn a und b bekannt wären und du die Funktion auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit untersuchen solltest. (Also dabei nichts für a und b einsetzen, sondern einfach so tun, als wären es konkrete Zahlen.) Verwende dafür jeweils die einfachere 1. Methode, also nicht die h-Methode. Die beiden Ergebnisse der Grenzwerte, die du dann bei der Stetigkeit berechnet hast, muss man danach gleichsetzen;das ergibt die erste Gleichung.
