Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Bei der Gerade steht dagegen nur das „Größer-Zeichen“, nicht aber das „Größer-Gleich-Zeichen“. An der Stelle gilt also die Parabel und nicht die Gerade.)

Deshalb ist die Funktion an der Stelle stetig;sie hat hier keine Sprungstelle. Die beiden Teilgraphen stoßen genau im Punkt zusammen.

Zusammenfassung: Überprüfung der Stetigkeit an der Stelle mit der h-Methode Die Stelle ist dabei die Nahtstelle der Teilfunktionen, also eine konkrete Zahl. Im Folgenden steht h für eine kleine, positive Zahl. Es gilt also: ·         Berechnung der folgenden beiden Grenzwerte: Anmerkung: wird berechnet, indem man bei derjenigen Teilfunktion, die für gilt, jedes x durch ersetzt, vereinfacht und dann für h die Zahl 0 einsetzt. wird berechnet, indem man bei derjenigen Teilfunktion, die für gilt, jedes x durch ersetzt, vereinfacht und dann für h die Zahl 0 einsetzt. ·         Berechnung des Funktionswertes , d.h. bei derjenigen Teilfunktion, wo  oder steht (also das Gleichheitszeichen dabei ist), einsetzen. ·         Sind alle drei Ergebnisse gleich, ist die Funktion an der Stelle stetig. Sind zwar die beiden Grenzwerte gleich, die Funktion ist aber an der Stelle nicht definiert, dann sagt man die Funktion ist „stetig ergänzbar“ oder „stetig fortsetzbar“ bzw. „stetig behebbar“. Der Graph hat dann ein Loch an der Stelle . (Siehe auch stetig ergänzbare oder stetig fortsetzbare  Definitionslücke!)

Weil die Überprüfung der Stetigkeit mit der h-Methode ziemlich kompliziert ist, schauen wir uns gleich noch einige weitere Beispiele an.

1. Bsp.:

Gegeben ist die Funktion

Ist die Funktion an der Stelle stetig?

Lösung:

Hier soll untersucht werden, ob die Funktion an der Stelle stetig ist. Warum überhaupt an der Stelle ? Ganz einfach, weil bei die Nahtstelle der beiden Teilfunktionen ist. Die eine Teilfunktion gilt schließlich für und die andere Teilfunktion für . Die Frage ist also, ob die beiden Teilgraphen bei wirklich zusammentreffen, oder ob bei eine Sprungstelle vorliegt. Wir wollen beide Methoden zur Überprüfung der Stetigkeit anschauen.

1. Methode:Einsetzten von in die beiden Teilfunktionen

Es ergibt sich nicht dreimal dasselbe Ergebnis. Daher ist die Funktion bei nicht stetig. Der Graph hat also eine Sprungstelle bei .

2. Methode:Überprüfung der Stetigkeit mit der „h-Methode“

---