Wendepunkte mit der dritten Ableitung nachweisen
) Der Flachpunkt FLAP(0|0) sieht aus wie ein etwas „eckiges“ Extremum. Der lilafarbene Graph gehört zu a = -6, also zu einem negativen Wert des Parameters;er besitzt keinen Flachpunkt und deshalb natürlich auch keinen Wendepunkt. Wenn es gar keinen Punkt gibt, wo die Krümmung gleich Null ist, kann es logischerweise keinen Wendepunkt geben. Diese Funktion der Schar hat nur ein Extremum/Tiefpunkt bei (0|0). Entsprechendes gilt auch für alle anderen Scharfunktionen mit negativen Werten von a. (Weitere Scharfunktionen mit negativen Werten von a sind allerdings nicht in der Abbildung dargestellt.) All diese Aussagen decken sich natürlich mit den Ergebnissen unserer Rechnung weiter oben.
3. Bsp.: 
Zeige, dass jede Scharkurve genau einen Hochpunkt und genau einen Wendepunkt hat. Gib die Koordinaten des Hochpunktes und des Wendepunktes an.
Lösung:
Es handelt sich bei 
wie auch im vorherigen Beispiel um eine Funktionenschar. Das erkennt man an dem Scharparameter a in der Funktionsgleichung. Um zu zeigen, dass jede Scharkurve genau einen Hochpunkt und genau einen Wendepunkt besitzt, müssen wir erst den Hochpunkt und danach den Wendepunkt in Abhängigkeit von a berechnen. (In Abhängigkeit von a rechnen, bedeutet, dass man für a nichts einsetzten soll. Man rechnet aber, als wäre a eine konkrete Zahl. Im Ergebnis kann a enthalten sein.) Es muss sich jeweils für den Hochpunkt und für den Wendepunkt genau ein Punkt ergeben, egal was für den Scharparameter a eingesetzt werden würde. Vorweg bilden wir die ersten drei Ableitungen. Die erste Ableitung brauchen wir nachher, um die Extrema (dazu gehört schließlich der Hochpunkt) zu finden. Die zweite Ableitung verwenden wir zum Nachweis der Art der Extrema und zur Berechnung des Wendepunktes. Die dritte Ableitung wird beim Nachweis des Wendepunktes benützt.
Berechnung der ersten Ableitung:
Es handelt sich bei der Funktion um einen Quotienten mit x im Nenner. Daher brauchen wir die Quotientenregel:
Um den Zähler abzuleiten, muss aber auch noch die Kettenregel angewendet werden, da es sich bei 
um eine verkettete Funktion handelt. Also:Nachdifferenzieren nicht vergessen! Versuche doch gleich mal selbst die erste Ableitung zu bilden! Weißt du noch die Ableitung von 
? Richtig! abgeleitet ist 
. (Das steht auch in der Merkhilfe bzw. Formelsammlung.)
Zu deiner Kontrolle folgt nun die ausführliche Rechnung.
Dir ist nicht ganz klar, wie man darauf kommt? Dann gehe zu: Nähere Erläuterungen zur Berechnung der Ableitung im Bsp. 3
Jetzt rechnen wir den Zähler soweit möglich aus.
