Zweite Ableitung f´´(x)

Wenn dir nicht klar ist, warum der Graph im Wendepunkt entweder am flachsten oder am steilsten verläuft, denkst du dir noch einige zusätzliche Tangenten an den Funktionsgraph dazu gezeichnet und überlegst dir, welche Steigung sie jeweils haben. Verlaufen die Tangenten zum Wendepunkt hin immer steiler oder immer flacher?

Abb.:   Graph mit Wendepunkt (WEP) und Wendetangente verläuft im WEP lokal am flachsten. Die Wendetangente (lila) fällt weniger als alle anderen Tangenten (rosa) in der Umgebung des Wendepunktes

Abb.:   Graph mit Wendepunkt (WEP) und Wendetangente verläuft im WEP lokal am steilsten. Die Wendetangente (lila) fällt stärker als alle anderen Tangenten (rosa) in der Umgebung des Wendepunktes

Einen Sonderfall stellen Wendepunkte mit waagrechter Tangente dar;sie heißen Terrassenpunkte. Terrassenpunkte sind also Wendepunkte mit waagrechter Tangente.

Abb.:   Monoton steigender Graph mit Terrassenpunkt (TEP) und waagrechter Tangente verläuft im TEP waagrecht, sonst ist er steigend. Links vom TEP ist der Graph rechtsgekrümmt, rechts davon ist er linksgekrümmt. Im TEP ändert sich somit das Krümmungsverhalten.

Abb.:   Monoton fallender Graph mit Terrassenpunkt (TEP) und waagrechter Tangente verläuft im TEP waagrecht, sonst ist er fallend. Links vom TEP ist der Graph linksgekrümmt, rechts davon verläuft er rechtsgekrümmt. Im TEP ändert sich somit das Krümmungsverhalten.

Zusammenhang der Graphen der Funktion selbst und ihrer zweiten Ableitung

Ebenso wie und die (erste) Ableitungsfunktion stellt auch die zweite Ableitung selbst eine Funktion dar. Jedem x wird durch die Krümmung von an der entsprechenden Stelle x zugeordnet.

Wo der Graph von linksgekrümmt ist, ist und der Graph von verläuft oberhalb der x-Achse. Entsprechend verläuft der Graph von unterhalb der x-Achse, wo der Graph von rechtsgekrümmt ist. An der Stelle, wo der Graph einen Wendepunkt hat, ist eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel des Graphen und schneidet dort die x-Achse.

Verlauf des Graphen der Funktion	Verlauf des Graphen der zweiten Ableitung
linksgekrümmt	oberhalb der x-Achse
rechtsgekrümmt	unterhalb der x-Achse
Wendepunkt („Umlenkstelle“)	Nullstelle mit Vorzeichenwechsel (die x-Achse wird geschnitten und nicht bloßberührt)

Vom Verlauf des Graphen kann eindeutig auf den Graph geschlossen werden, aber nicht umgekehrt.

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