Zweite Ableitung f´´(x)
Wenn dir nicht klar ist, warum der Graph im Wendepunkt entweder am flachsten oder am steilsten verläuft, denkst du dir noch einige zusätzliche Tangenten an den Funktionsgraph dazu gezeichnet und überlegst dir, welche Steigung sie jeweils haben. Verlaufen die Tangenten zum Wendepunkt hin immer steiler oder immer flacher?
![]() Abb.: Graph
Die Wendetangente (lila) fällt weniger als alle anderen Tangenten (rosa) in der Umgebung des Wendepunktes |
![]() Abb.: Graph
Die Wendetangente (lila) fällt stärker als alle anderen Tangenten (rosa) in der Umgebung des Wendepunktes |
Einen Sonderfall stellen Wendepunkte mit waagrechter Tangente dar;sie heißen Terrassenpunkte. Terrassenpunkte sind also Wendepunkte mit waagrechter Tangente.
![]() Abb.: Monoton steigender Graph und waagrechter Tangente
Links vom TEP ist der Graph rechtsgekrümmt, rechts davon ist er linksgekrümmt. Im TEP ändert sich somit das Krümmungsverhalten. |
![]() Abb.: Monoton fallender Graph und waagrechter Tangente
Links vom TEP ist der Graph linksgekrümmt, rechts davon verläuft er rechtsgekrümmt. Im TEP ändert sich somit das Krümmungsverhalten. |
Zusammenhang der Graphen der Funktion selbst und
ihrer zweiten Ableitung
Ebenso wie und die (erste) Ableitungsfunktion
stellt auch die zweite Ableitung
selbst eine Funktion dar. Jedem x wird durch
die Krümmung von
an der entsprechenden Stelle x zugeordnet.
Wo der Graph von linksgekrümmt ist, ist
und der Graph von
verläuft oberhalb der x-Achse. Entsprechend verläuft der Graph von
unterhalb der x-Achse, wo der Graph von
rechtsgekrümmt ist. An der Stelle, wo der Graph
einen Wendepunkt hat, ist eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel des Graphen
und
schneidet dort die x-Achse.
Verlauf des Graphen ![]() ![]() |
Verlauf des Graphen ![]() ![]() |
linksgekrümmt | oberhalb der x-Achse |
rechtsgekrümmt | unterhalb der x-Achse |
Wendepunkt
(„Umlenkstelle“) |
Nullstelle mit Vorzeichenwechsel
(die x-Achse wird geschnitten und nicht bloßberührt) |
Vom Verlauf des Graphen kann eindeutig auf den Graph
geschlossen werden, aber nicht umgekehrt.