Zweite Ableitung f´´(x)
1. Bsp.:
Gegeben ist der Graph der Funktion
. Siehe Abbildung! Der Tiefpunkt von
TIP(0|-2), der Terrassenpunkt TEP(3|4,75) und der Wendepunkt WEP(1|0,75) sind rot markiert. Die Wendetangente von
hat die Steigung 4. Zeichne zuerst den Graphen
ab und zeichne dann auch die Graphen der ersten und zweiten Ableitungsfunktion in zwei weitere Koordinatensysteme!
Hinweis:Am besten ist es, wenn du die drei Koordinatensysteme direkt untereinander zeichnest, dann kannst du nachher den Zusammenhang der Graphen von , der ersten Ableitung
und
am besten erkennen.
Abb.:Der Graph der Funktion
Lösung:
Nachdem du den Graphen abgezeichnet hast, überlegst du dir, welche Punkte von
besonders wichtig sind für den Verlauf der beiden Ableitungsfunktionen. Das sind natürlich die bereits markierten Punkte, also der Tiefpunkt, der Terrassenpunkt und der Wendepunkt.
Wir beginnen mit den Überlegungen, die nötig sind, um auf den Graph der ersten Ableitung zu schließen. Die erste Ableitung entspricht bekanntlich der Steigung von
. Die Steigung von
wird demnach als y-Koordinate von
aufgefasst. An den Stellen, wo
waagrechte Tangenten hat, ist die Steigung von
gleich Null und es gilt:
Die erste Ableitungsfunktion
muss deshalb Nullstellen haben, wo
waagrechte Tangenten hat. D.h. weil
bei x = 0 und x = 3 waagrechte Tangenten hat, muss
dort Nullstellen haben. In den Bereichen, wo
fällt, muss
unterhalb der x-Achse verlaufen. Weil
nur für x <0 fällt, liegt
ausschließlich für x <0 unterhalb der x-Achse. An der Stelle x = 0 hat
einen Tiefpunkt;dort ändert sich das Vorzeichen der Steigung von
, also auch das Vorzeichen von
.
schneidet daher die x-Achse bei x = 0. Umgekehrt wo
steigt, liegt
zwangsläufig oberhalb der x-Achse. Weil
für
und
steigt, muss
in diesen Bereichen oberhalb der x-Achse liegen. Im Wendepunkt W(1|0,75) steigt
lokal am stärksten. Das bedeutet, dass die Ableitungsfunktion
bei x = 1 ein Maximum haben muss. Laut Angabe hat die Wendetangente die Steigung 4. Es gilt daher:
Der Punkt (1|4) ist der Hochpunkt von
. Versuche nun schon einmal den Graph
in ein neues Koordinatensystem unterhalb von
zu skizzieren! (Die Lösung folgt etwas weiter unten!)
Nun zum Graph der zweiten Ableitung
u kannst die zweite Ableitung entweder als Krümmung von
oder als Steigung von
auffassen.
Betrachte nun als Krümmung von
. Dann kannst du folgendermaßen von
auf
schließen:An der Stelle x = 1 und bei x = 3 befinden sich Wendepunkte von
.