3.Volumenberechnungen von Rotationskoerpern mit Hilfe von Integralen
· Ermittlung der Umkehrfunktion 
:
Anmerkung:Ist eine Funktion 
in der angegebenen Definitionsmenge 
streng monoton (also nur steigend oder nur fallend), kommt man auf die Wertemenge 
, indem man die Randpunkte der Definitionsmenge in die Funktionsgleichung einsetzt.
In diesem Beispiel ist die Definitionsmenge laut Angabe 
. Die Randpunkte liegen somit bei x = 0 und x = 2,5. Diese beiden Zahlen müssen wir daher in 
einsetzen:
Somit ergibt sich die Wertemenge 
. Wir benötigen die Wertemenge 
, da sich daraus die Definitionsmenge der Umkehrfunktion 
und somit die Integrationsgrenzen a = 0 und b = 10 ergeben.
Jetzt bilden wir die Umkehrfunktion. Statt schreiben wir als erstes y:
Nun vertauschen wir x und y gegeneinander;ab dann liegt schon 
vor:
Dies ist bereits die Umkehrfunktion . Sie ist aber noch nicht nach y aufgelöst;wir brauchen jedoch in der nach y aufgelösten Form. Deshalb stellen wir im nächsten Schritt nach y um:
In unserem Fall gilt das Pluszeichen. Das erkennt man an der Wertemenge 
der Umkehrfunktion, die bekanntlich der Definitionsmenge der Funktion selbst entspricht. Somit gilt hier: 
Bei der Umkehrfunktion dürfen also keine negativen Werte herauskommen, sondern nur Zahlen von 0 bis 2,5. Dies ist der Grund, warum das Minuszeichen vor der Wurzel wegfällt.
Die gesuchte Umkehrfunktion lautet daher:
Oder anders geschrieben:
· Berechnung des Volumens mit der Formel:
Die Integrationsgrenzen ergeben sich aus der Definitionsmenge der Umkehrfunktion 
bzw. der Wertemenge der Funktion . Wegen müssen wir von a = 0 bis b = 10 integrieren.
Mit a = 0 und b = 10 sowie 
ergibt sich:
Damit du dir die Zusammenhänge besser vorstellen kannst, fertigen wir eine Skizze an, die den Graph der Funktion mit x 
[0;2,5] und den Graph der zugehörigen Umkehrfunktion 
zeigt. Der Graph 
rotiert um die y-Achse;der Graph 
der Umkehrfunktion rotiert dagegen um die x-Achse. Betrachte dazu die folgende Abbildung!
Abb.:Zur Berechnung des Volumens des Sektkelches mit Hilfe der Umkehrfunktion:Durch die Rotation des Graphen der Umkehrfunktion 
mit x [0;10] um die x-Achse entsteht ein Rotationskörper, der das gleiche Volumen hat wie der Rotationskörper, der durch die Rotation des Graphen der Funktion mit x [0;2,5] um die y-Achse entsteht.
Nun müssen wir nur noch das Integral ausrechnen.
Integration nach dx liefert:
