Das Summenzeichen und die Streifenmethode

2. Näherung mit der Streifenanzahl n = 4

Näherungsweise zu berechnen:

Es gilt somit:

Untere Grenze a = 0, obere Grenze b = 8 und

Berechnung der Obersumme :

Die Streifenbreite ergibt sich aus der Intervallbreite b – a = 8 – 0 = 8 und der Anzahl n (hier n = 4) der Streifen:

Dass sich bei 4 Streifen im Intervall von 0 bis 8 die Streifenbreite ergeben muss, erkennt man auch direkt an der nachfolgenden Abbildung. Jeder der vier Streifen hat die Breite .

Abb. 4:Zur Berechnung der Obersumme im Intervall 0 bis 8 mit

Die Streifenhöhe ergibt sich jeweils aus der y-Koordinate des höchsten Kurvenpunktes innerhalb der einzelnen Streifen. (Bei der Obersumme wird die Oberkante des Streifens immer vom höchsten Kurvenpunkt des Streifens ausgehend gezeichnet.) Da der Graph streng monoton steigend ist, gehört zur höchsten y-Koordinate auch die höchste x-Koordinate im jeweiligen Streifen. Daher liegen die entsprechenden Punkte immer am rechten Rand des Streifens. (In Abb. 4 rot markierte Punkte) Diese Punkte liegen also immer in der rechten, oberen Ecke des entsprechenden Streifens. Ihre y-Koordinaten, d.h. die Streifenhöhen, berechnet man jeweils durch Einsetzen der x-Koordinaten und in die Funktionsgleichung .

Nun können wir leicht die Obersumme berechnen, indem wir bei jedem Streifen „Breite mal Höhe“ rechnen und die Ergebnisse alle addieren.

Berechnung der Untersumme :

Die Streifenbreite ergibt sich, wie schon bei der Obersumme aus der Intervallbreite b – a = 8 – 0 = 8 und der Anzahl n (hier n = 4) der Streifen:

Dass bei 4 Streifen im Intervall von 0 bis 8  für die Streifenbreite gilt, erkennt man auch wieder direkt an der nachfolgenden Abbildung.

Abb. 5:Zur Berechnung der Untersumme im Intervall 0 bis 8 mit

Die Streifenhöhen ergeben sich aus den y-Koordinaten der tiefsten Kurvenpunkte innerhalb der einzelnen Streifen. (Bei der Untersumme wird die Oberkante des Streifens immer vom tiefsten Kurvenpunkt des Streifens ausgehend gezeichnet.) Da der Graph streng monoton steigend ist, gehört zur niedrigsten y-Koordinate auch die niedrigste x-Koordinate im jeweiligen Streifen. Daher liegen die entsprechenden Punkte immer am linken Rand des Streifens. (In Abb. 5 rot markierte Punkte) Diese Punkte liegen also immer in der linken, oberen Ecke des entsprechenden Streifens. Ihre y-Koordinaten, d.h. die Streifenhöhen, berechnet man jeweils durch Einsetzen der x-Koordinaten und in die Funktionsgleichung .

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