Die Stammfunktion F(x) und einfache Integrationsregeln

Wir halten noch einmal fest:

Aus der Symmetrie von zu einem beliebigen Punkt darf man nicht automatisch eine Symmetrie der Stammfunktion folgern. Wenn symmetrisch zu einem beliebigen Punkt ist oder zu einer beliebigen senkrechten Gerade, kann die Stammfunktion symmetrisch sein, muss es aber nicht.

Umgekehrt lässt sich jedoch, wie bereits gesagt, von einer allgemeinen Symmetrie der Stammfunktion auf die Symmetrie von schließen.

Zusammenfassung der Zusammenhänge des Symmetrieverhaltens von und : 1. Symmetrie zum Koordinatensystem: achsensymmetrisch zur y-Achse ⇔ punktsymmetrisch zum Ursprung punktsymmetrisch zum Punkt ⇔ achsensymmetrisch zur y-Achse Hinweis: Der Doppelpfeil ⇔bedeutet, dass die Schlussfolgerung von links nach rechts und auch umgekehrt gilt. 2. Allgemeine Symmetrie: achsensymmetrisch zur Gerade punktsymmetrisch zum Punkt punktsymmetrisch zu achsensymmetrisch zur Gerade Hinweis: Der einfache Pfeil bedeutet, dass die Schlussfolgerung nur von links nach rechts, aber nicht umgekehrt gilt.

Abschließend noch ein kleiner allgemeiner Hinweis bezüglich eventuell vorhandener Definitionslücken:

Zusammenhang zwischen den Definitionslücken von und :

Wenn an einer bestimmten Stelle eine Definitionslücke hat, hat auch an dieser Stelle eine Definitionslücke. Hat eine senkrechte Asymptote, hat die gleiche senkrechte Asymptote. Der Verlauf von und in der Umgebung der Definitionslücke ist natürlich nicht immer gleich.

Das Ende dieses Teils bildet eine Übersicht über die Zusammenhänge der verschiedenen Ableitungen der Stammfunktion mit der zugehörigen Funktion bzw. ihren Ableitungen:

Gehst du in der Abbildung eine Stufe tiefer, findest du jeweils die Ableitungsfunktion derjenigen Funktion, von der du ausgegangen bist;die y-Koordinaten bzw. Funktionswerte der unteren Funktion entsprechen immer jeweils der Steigung der oberen Funktion an einer bestimmten Stelle. Die jeweils untere Funktion beschreibt also die Steigung der Oberen.

Gehst du in der Abbildung eine Stufe höher, findest du eine Stammfunktion zu der Funktion, von der du ursprünglich ausgegangen bist. Die obere Funktion ist also immer eine Stammfunktion zur Unteren. Somit ist eine Stammfunktion zu , und eine Stammfunktion zu . Allerdings ist nicht die einzige Stammfunktion zu und entsprechend ist nicht die einzige Stammfunktion zu . Man darf die additive Konstante C beim Integrieren nicht vergessen. So sind neben auch alle nach oben oder unten verschobenen Funktionen Stammfunktionen zu . Zu ist auch nicht nur Stammfunktion, sondern auch .

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