Die Stammfunktion F(x) und einfache Integrationsregeln

a.)

b.)

c.)

Lösung:

Es ist jeweils nach drei verschiedenen Stammfunktionen gefragt. Das bedeutet für dich nichts anderes als, dass du für die Konstante C drei verschiedene, konkrete Zahlen einsetzten sollst, nachdem du integriert hast. Du kannst dir dabei für C irgendwelche Zahlen ausdenken.

Bevor du die gegebenen Funktionen mit der Formel integrieren kannst, musst du sie jedoch erst auf die Form bringen. Dazu brauchst du die Potenzgesetze und . (Wenn du die Potenzgesetze nicht auswendig kannst:Sie stehen in der Formelsammlung bzw. auf der Merkhilfe.)

Zu 1a.)

Falls dir der letzte, gezeigte Umformungsschritt nicht klar ist, denke daran, dass man durch einen Bruch dividiert, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.

Wir wollen die Stammfunktion aber noch weiter vereinfachen. Dabei verwenden wir den folgenden Zusammenhang:

(Das Potenzgesetz mit steht in der orangen bsv-Formelsammlung, leider aber nicht auf der Merkhilfe für G8. Gymnasiasten sollten die Regel deshalb auswendig lernen.)

Im letzten Umformungsschritt wurde teilweise radiziert, d.h. teilweise die Wurzel gezogen. Zur Erläuterung:

Nun wählen wir drei beliebige Zahlen für die Konstante C, beispielsweise 0, 1 und 2, und schon haben wir drei verschiedene Stammfunktionen zu gefunden.

Damit ist die Aufgabe gelöst! Man erkennt, dass sich alle Stammfunktionen nur in ihrer additiven Konstante unterscheiden. Die Graphen der Stammfunktionen haben alle die gleiche Form;sie sind nur mehr oder weniger nach oben verschoben. Sie ergeben sich auseinander durch Verschiebung nach oben bzw. unten entlang der y-Achse. In der folgenden Abbildung schwarz, rosa bzw. grün dargestellt!

Abb.:Der Graph der Wurzelfunktion und die Graphen der Stammfunktionen

Du hättest natürlich auch irgendwelche anderen reellen Zahlen für C einsetzen können. Dass hier für C die Zahlen 0, 1 und 2 verwendet wurden, war eine rein willkürliche Entscheidung. Diese Zahlen wurden nur deshalb gewählt, weil sie „schön“ sind. Man hätte stattdessen beispielsweise auch und verwenden können. (Diese Zahlen sind ebenfalls absolut willkürlich gewählt.) Doch wer mag schon solch „krumme“ Zahlen.

Zu 1b.)

Nun wählen wir noch drei beliebige Zahlen für die Konstante C, beispielsweise 0, 1 und -1, und schon haben wir drei verschiedene Stammfunktionen zu gefunden.

Zu 1c.)

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