Substitution

Jetzt kann die Mitternachtsformel angewendet werden mit . Beachte, dass wir hier statt schreiben müssen. Die Variable ist ja momentan u und nicht x.

Nun wissen wir zwar, was u ist, aber noch nicht, was x ist, und genau das müssen wir schließlich ermitteln. Dazu führen wir die sogenannte Rücksubstitution durch:In die oben gelb unterlegte Gleichung setzen wir für u die soeben ermittelten Werte ein:D.h. einmal wird der Wert 1 und einmal den andere Wert 16 für u eingesetzt. So erhalten wir zwei reinquadratische Gleichungen, die nun wieder x als Unbekannte enthalten. Sie lassen sich jeweils durch einfaches Radizieren nach x auflösen. Vorsicht:Plus/Minus-Zeichen vor der Wurzel nicht vergessen, sonst „verliert“ man die Hälfte der Lösungen!

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Da beide Werte von u positiv sind, ergeben sich aus den beiden Gleichungen jeweils zwei, also insgesamt vier verschiedene Lösungen für x. Es können allerdings in anderen Aufgaben auch nur zwei oder gar keine Lösung für x herauskommen;das hängt vom Vorzeichen der für u ermittelten Werte ab. Ist beispielsweise positiv und negativ, erhält man nur zwei Lösungen für x, weil man aus dem negativen die Wurzel gar nicht ziehen kann.

Merke dir auf jeden Fall, dass sich Gleichungen der Form (biquadratische Gleichungen) immer durch die Substitution in eine gemischtquadratische Gleichung, also in eine Gleichung der Form umformen und dann mit der Mitternachtsformel lösen lassen.

Zusammenfassung: Biquadratische Gleichungen lösen ·         ⇔ ·         Substitution: (Gleichung*) ·         ·         Mitternachtsformel anwenden: und ·         Rücksubstitution, d.h. die für und berechneten Werte in Gleichung* einsetzen ·         Falls möglich durch Radizieren (Wurzelziehen) nach x auflösen. Bedenke dabei, dass aus negativen Zahlen die Wurzel nicht gezogen werden kann! Wenn du aber radizieren kannst, darfst du das Plus/Minus-Zeichen vor der Wurzel nicht vergessen!

Nicht nur biquadratische Gleichungen lassen sich mit Hilfe einer geeigneten Substitution auf gemischtquadratische Gleichungen zurückführen, sondern auch andere zuerst sehr kompliziert wirkende Gleichungen.

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