Grenzwerte von e- und ln-Funktionen

Weiter lässt sich die Ableitung nicht vereinfachen.

Wenn du Schwierigkeiten hattest, selbständig die Ableitung zu bilden, solltest du unbedingt den Teil Weitere Ableitungsregeln gründlich durcharbeiten.

Nun zu den gesuchten Grenzwerten und .

Anschaulich:Der Graph hat an der Stelle x = 0 eine unendlich große Steigung, weil schließlich der Steigung von entspricht. Die Tangente an bei x = 0 verläuft also senkrecht. D.h. der Graph beginnt quasi senkrecht steigend im Ursprung.

Dass die Funktion im Ursprung beginnt, kannst du leicht nachrechnen:

Wegen ist der kleinste x-Wert, den wir einsetzen dürfen, logischerweise x = 0. Jetzt fehlt uns aber noch die zugehörige y-Koordinate .

Der Graph beginnt im Ursprung und hat dort wegen eine senkrechte Tangente.

Beachte, dass die Funktion an der Stelle x = 0 definiert ist, ihre Ableitung jedoch nicht!

Vergleiche dazu die Definitionsmengen von und :

In die Ableitung kann man die Zahl 0 nicht einsetzen, weil dabei der Nenner Null ergeben würde. In die Funktion selbst kann die Zahl 0 dagegen schon eingesetzt werden;der Nenner wird dabei nicht Null, sondern Eins.

Man kann zwar den Funktionswert berechnen, nicht aber die Ableitung . Ersatzweise wird deshalb der Grenzwert ermittelt.

Nun zum Verhalten der Ableitung für :

Nun stehen wir mal wieder vor dem Problem eines unbestimmten Ausdrucks. Wir müssen beurteilen, ob hier der Zähler oder der Nenner schneller wächst. Es ist zu vermuten, dass der Nenner schneller gegen Unendlich geht, weil im Nenner zusätzlich zu auch noch einen Beitrag zum Unendlich liefert, im Zähler aber nur einmal vorkommt. Es ergibt sich deshalb aus insgesamt .

Anschaulich:Für wird die Steigung von fast Null. Der Graph verläuft für sehr große x nahezu waagrecht, was auch mit der oben herausgefundenen waagrechten Asymptote von für im Einklang steht. Am negativen Vorzeichen von erkennt man, dass der Graph fallend sein muss. Für fällt der Graph also immer weniger;er schmiegt sich von oben kommend an seine waagrechte Asymptote, die x-Achse, an. Damit ist die Aufgabe gelöst.

Damit du dir das Ganze besser vorstellen kannst, hier noch zusätzlich der Graph der Funktion. (Die Zeichnung war natürlich in der Aufgabenstellung nicht verlangt.)

Abb.:Graph der Funktion

Wegen verläuft die Tangente an im Ursprung senkrecht-steigend.

6. Bsp.:

Gib die maximale Definitionsmenge der Funktion an und untersuche das Verhalten von an den Rändern des Definitionsbereichs!

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