Das Newton-Verfahren
Gesucht ist ein Näherungswert für den einzigen Startwert 
, der beim Newton-Verfahren mit der Funktion 
an der ebenfalls noch unbekannten Stelle 
zu genau dieser Problematik führen würde.
Als erstes müssen wir herausfinden, wo die Stelle liegt. Das ist nicht schwer, denn ist offensichtlich die x-Koordinate des rechten Extremums von 
, also des einzigen Punktes von 
mit waagrechter Tangente, der eine positive x-Koordinate hat. Wir berechnen also zuerst die x-Koordinaten aller Extrema der Funktion und nehmen dann den einzigen positiven Wert.
Berechnung von :
Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Daher können wir die beiden Faktoren einzeln gleich Null setzen:
Wir suchen nach dem Extremum mit positiver x-Koordinate. Dafür kommt nur 
in Frage. Es muss daher für die Stelle gelten: 
Nun brauchen wir die Iterationsformel des Newton-Verfahrens:
Für n = 0 ergibt sich die Formel für den ersten Näherungswert:
Nun setzen wir den Wert , den Funktionswert 
sowie die Ableitung 
in diese Formel ein. Das ergibt:
Nun liegt eine Gleichung vor, die den gesuchte Startwert als einzige Unbekannte enthält. Wir versuchen sie zu lösen, indem wir sie erst einmal nach Null umstellen.
Leider lässt sich diese Gleichung 4. Grades nicht exakt lösen. Man müsste dazu erst eine Lösung erraten und eine Polynomdivision durchführen, dann noch eine Lösung erraten und eine zweite Polynomdivision durchführen, um dadurch eine quadratische Gleichung zu erhalten, die sich schlussendlich entweder mit der Mitternachtsformel oder durch Wurzelziehen lösen ließe. (Siehe auch:Gleichungen dritten und höheren Grades) Man kann aber gar keine Lösung erraten, daher klappt das nicht. Was also tun? Hast du selbst eine Idee?
Na, klar! Wir müssen auf das Newton-Verfahren zurückgreifen, um wenigstens eine Näherungslösung der vorliegenden Gleichung zu erhalten.
Es handelt sich bei dieser Gleichung um eine Gleichung vierten Grades mit der Unbekannten . Damit es nicht zu Verwechslungen mit dem Startwert beim nachfolgenden Newton-Verfahren kommt, schreiben wir für die Unbekannte ab sofort einfach x. Wir lassen also den Index vorübergehend weg. Dann sieht die Gleichung folgendermaßen aus:
Wir müssen aber immer im Hinterkopf behalten, dass ab sofort die Unbekannte x eigentlich den ursprünglich gesuchten Startwert darstellt, der bei der Berechnung der Nullstelle zwischen 0,5 und 1 der Funktion mit dem Newton-Verfahren nicht zur Lösung führt, weil beim ersten Näherungswert die Tangente waagrecht liegt. Dieser ungeeignete Startwert liegt ungefähr bei 0,2. Vergleiche dazu die Abbildung in der Angabe!
