Das Newton-Verfahren

Die gesuchte Lösung der Gleichung muss somit zwangsläufig in der Nähe von 0,2 liegen. Wir verwenden daher die Zahl 0,2 als Startwert für das folgende Newton-Verfahren. Die linke Seite der zu lösenden Gleichung fassen wir dabei als neue Funktion auf. Wir suchen jetzt also die Lösung der Gleichung . (Wir berechnen also quasi die Nullstelle der Funktion , was allerdings dem gesuchten ungeeigneten Startwert für die Nullstellenberechnung der Funktion entspricht.)

Newton-Verfahren zur Berechnung einer Näherungslösung der Gleichung:

Wir verwenden die Bezeichnung:

Zu lösen ist demnach:

Die Iterationsvorschrift für das Newton-Verfahren lautet in diesem Fall:

Berechnung des ersten Näherungswerts:

Für n = 0 ergibt sich die Formel für den ersten Näherungswert.

Gewählter Startwert:

Damit gilt:

Wir bilden die benötigte Ableitung von :

Nun setzen wir den Wert 0,2 jeweils in und in ein, um die benötigten Werte und zu berechnen. Die Zwischenergebnisse werden am besten jeweils im Taschenrechner abgespeichert und nachher in einem weiteren Schritt in die Formel des Newton-Verfahrens eingesetzt.

Berechnung des zweiten Näherungswerts:

Nebenrechnung mit dem Taschenrechner

Der zweite Näherungswert 0,1932120085weicht vom ersten Näherungswert 0,1931784423 ab der vierten Nachkommstelle ab. Wir kennen also die vierte und alle weiteren Nachkommastellen der Lösung noch nicht. Wir sollen aber eine Genauigkeit von 4 Dezimalen erreichen. Also müssen wir noch mindestens eine weitere Runde drehen und die Iterationsvorschrift noch einmal anwenden.

Berechnung des dritten Näherungswerts:

Nebenrechnung mit dem Taschenrechner

Der dritte Näherungswert 0,1932120085weicht vom zweiten Näherungswert 0,1932120085innerhalb der vom Taschenrechner angezeigten 9 Nachkommastellen gar nicht mehr ab. Wir kennen die Lösung somit auf 9 Dezimalen genau. Es ist in der Aufgabenstellung eine Genauigkeit von 4 Dezimalen verlangt. Jetzt können wir also getrost aufhören.

Der in der Aufgabe gesuchte ungeeignete Startwert für die Berechnung der Nullstelle zwischen 0,5 und 1 der Funktion lautet somit auf 4 Nachkommastellen gerundet:

An diesem Aufgabenbeispiel  konntest du sehen, dass mit dem Startwert zwar der erste Näherungswert mit dem Newton-Verfahren bei der Berechnung einer Näherungslösung der Nullstelle zwischen 0,5 und 1 von noch berechnet werden kann, nicht aber alle weiteren Näherungswerte usw.

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