Wendepunkte mit der dritten Ableitung nachweisen

Da für a laut Angabe nur positive Werte eingesetzt werden dürfen, gibt es immer genau einen Punkt mit waagrechter Tangente. (Für würde sich keine Lösung ergeben, da die Division durch Null nicht definiert ist. Doch wegen kommt dieser Fall sowieso nicht vor.) Nun müssen wir die zugehörige y-Koordinate berechnen und nachweisen, dass es sich für alle wirklich um einen Hochpunkt (HOP) handelt und nicht um einen Tiefpunkt (TIP) oder Terrassenpunkt (TEP).

Berechnung der zugehörigen y-Koordinate:

Es wird dazu die x-Koordinate in die Funktionsgleichung eingesetzt.

Sollten dir die vorletzte Umformung nicht klar sein, überlegst du dir folgendes:Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert. Man dividiert also durch , indem man mit , also mit a multipliziert. Deshalb gilt:

Bei der letzten Umformung wurde das Potenzgesetz verwendet. Das ist nicht so leicht nachzuvollziehen. Daher noch einmal alles ganz langsam.

Nun kennen wir die Koordinaten des einzigen Punktes mit waagrechter Tangente:

Überprüfung der Art des Extremums:

Es wird dazu die x-Koordinate in die zweite Ableitung eingesetzt und das Vorzeichen bestimmt.

Da a laut Angabe für eine  positive Zahl steht, ist der Ausdruck positiv und entsprechend negativ. Der Ausdruck ist immer positiv, egal was für a eingesetzt wird. (Denk daran:„e hoch irgendwas ist immer positiv!“) Wegen „Minus mal Plus ist Minus“ ist der gesamte Ausdruck   daher negativ. Es existiert daher für beliebige (positive) Werte von a genau ein Hochpunkt. Somit ist gezeigt, dass jede Scharkurve genau einen Hochpunkt hat. Weitere Hochpunkte kann es ja nicht geben, da es keine anderen Punkte mit waagrechten Tangenten gibt. Aus ergab sich schließlich nur die einzige Lösung .

Anmerkung:Für negative Werte von a hätte sich ein Tiefpunkt ergeben, weil sich für a bei ein positiver Wert ergeben hätte. Für hätte sich gar kein Extremum ergeben;die x-Koordinate wäre für schließlich gar nicht definiert. (Division durch Null nicht definiert)

So, den ersten Teil der Aufgabe haben wir gelöst. Nun muss noch gezeigt werden, dass für beliebige positive Werte von a immer genau ein Wendepunkt existiert.

Berechnung des Wendepunktes:

Ein Bruch ist gleich Null, wenn der Zähler gleich Null ist und der Nenner nicht gleich Null ist.

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