Wendepunkte mit der dritten Ableitung nachweisen
Es geht also beim Ableiten nur um die x-Potenzen. Der Scharparameter a ist dagegen eine Konstante, also eine beliebige, aber feste Zahl.
Berechnung der Flachpunkte in Abhängigkeit von a:
Nur wenn a nicht negativ ist, ist die Wurzel definiert. Das bedeutet, dass für 
keine Flachpunkte existieren. Nur für 
gilt: 
Daher gehen wir im Folgenden davon aus, dass a nicht negativ ist. Es gilt also ab sofort:
Das Ergebnis formen wir noch so um, dass im Nenner keine Wurzel mehr steht. In anderen Worten:Wir machen den Nenner rational. Dazu erweitern wir mit 
.
Manchem Schüler mag das Ergebnis mit rationalem Nenner 
komplizierter erscheinen, als die ursprünglichen Werte . Es ist jedoch eine allgemeine, mathematische Vereinbarung, dass Endergebnisse grundsätzlich mit rationalem Nenner angegeben werden sollen. Zum Weiterrechnen kannst man aber dennoch verwenden, wenn es leichter damit zu rechnen ist. So lassen sich die zugehörigen y-Koordinaten hier besser mit berechnen, weil sich die Wurzel durch die vierte Potenz und das Quadrat in „auflöst“. (Bei der vierten Potenz der Wurzel muss man natürlich, nachdem die Wurzel weggefallen ist, noch einmal quadrieren. Vergleiche unten!)
Berechnung der y-Koordinaten der Flachpunkte:
Wir setzen dazu jeweils die x-Koordinaten 
und 
in die Funktionsgleichung ein.
Kleiner Tipp:Eine Wurzel kann man ganz leicht hoch vier rechnen, indem man zweimal hintereinander quadriert. Das erste Quadrat lässt die Wurzel verschwinden, das zweite muss man dann noch ausrechnen. Denk daran:Ein Bruch wird quadriert, also hoch zwei genommen, indem man den Zähler und den Nenner des Bruchs jeweils einzeln quadriert.
Du hast Probleme den Ausdruck 
weiter zu vereinfachen? (Wir bezeichnen diesen Ausdruck ab sofort mit dem Buchstaben A.) Eine genauere Erklärung findest du bei:
Wie man den Ausdruck A teils mit dem Taschenrechner berechnen kann.
Hinweis:Da die Funktionenschar nur gerade Potenzen von x enthält, sind alle Scharkurven achsensymmetrisch zur y-Achse. Es gilt: 
Deswegen muss für 
dasselbe Ergebnis herauskommen wie bei 
. Man hätte sich die Berechnung von somit sparen können. Wenn die Achsensymmetrie zur y-Achse vorher bereits bewiesen wurde, reicht auch Folgendes:
Wegen Achsensymmetrie zur y-Achse: 
Vergleiche auch:Symmetrie
Jetzt haben wir schon mal die Flachpunkte in Abhängigkeit von a ermittelt:
