1. Flächenberechnungenmit Hilfe von Integralen

Du musst also immer nach dem Buchstaben integrieren, der innerhalb der Klammer direkt hinter der Funktionsbezeichnung steht. Dieser Buchstabe ist die Variable. Nur bei den Exponenten dieses Buchstabens musst du 1 dazuzählen und dann auch noch durch  den neuen Exponenten teilen. Alle anderen Buchstaben (es könnten auch mehrere Scharparameter auftreten) behandelst du wie ganz normale Zahlen.

Du hättest wahrscheinlich automatisch nach x integriert und somit bei dieser Aufgabe nach dem richtigen Buchstaben integriert. Aber Vorsicht:Das ist eben nicht bei allen Aufgaben so. Wäre beispielsweise die Funktionenschar gegeben, müsste nach t integriert werden, weil t dabei die Variable darstellt. Der Buchstabe t steht innerhalb der Klammer hinter der Funktionsbezeichnung ;daher ist t dabei die Variable. Dagegen wäre x bei bloßder Scharparameter und nicht wie normal die Variable! Du müsstest dann dt hinter das Integral schreiben und dich beim Integrieren nur auf die Potenzen von t konzentrieren, also nur bei den Exponenten von t die Zahl 1 dazuzählen usw. Das x müsstest du dabei als feste Zahl behandeln.

Nun aber wieder zurück zu unserer Aufgabe. Wir müssen von 0 bis nach x integrieren.

Den vorliegenden Ausdruck müssen wir noch vereinfachen. Wir müssen dazu den Term ausrechnen. Das machen wir in einer Nebenrechnung:

Damit ergibt sich für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von k:

Gesucht ist derjenige Wert von k, für den sich der Flächeninhalt ergibt. Wir setzen daher für nun den Wert 4 ein. So erhalten wir die folgende Gleichung:

Wir müssen diese Gleichung nur noch nach k auflösen. Dann sind wir fertig.

Für ergibt sich der geforderte Flächeninhalt von 4 FE zwischen Funktionsgraph und den Koordinatenachsen, das im I. Quadranten liegt.

6. Bsp.:Extremaler Flächeninhalt und zugehöriger Scharparameter gesucht

Gegeben ist die Funktionenschar mit k >1. Die Graphen werden mit bezeichnet.

Der Graph schließt für k >1 mit der positiven x-Achse ein Flächenstück ein. Berechne den Inhalt dieses Flächenstücks in Abhängigkeit von k. Ermittle sodann denjenigen Wert von k, für den minimal bzw. maximal wird. Überprüfe rechnerisch, ob die Fläche dann am größten oder am kleinsten ist. Wie großist dieser Flächeninhalt?

Lösung:

Gesucht ist als erstes die Fläche zwischen einem der Graphen der Schar mit k >1 und der (positiven) x-Achse.

Die Angabe k >1 ist sehr wichtig! Wäre nämlich bezüglich k nichts angegeben gewesen, hätte k ℝ gegolten und wir müssten nachher eine Fallunterscheidung machen. (Für k = 1 gäbe es gar keine solche Fläche, weil die Gleichung der Winkelhalbierenden ist. Die Winkelhalbierende schließt aber mit der x-Achse überhaupt kein Flächenstück ein. Für k <1 ergäbe sich ebenfalls kein Flächenstück, das durch den Graph und die x-Achse eingeschlossen wird. Das merkt man später auch daran, dass nur für k >1 mehrere Nullstellen hat. Darauf wird weiter unten bei der Nullstellenberechnung noch genauer eingegangen.)

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