1. Flächenberechnungenmit Hilfe von Integralen
Vorweg müssen die Nullstellen von 
in Abhängigkeit von k berechnet werden. Die positive Nullstelle entspricht der oberen Grenze des zu berechnenden Integrals, die negative Nullstelle brauchen wir nicht weiter. Die untere Grenze ist offensichtlich x = 0;die Fläche wird nämlich an ihrem linken Rand durch die y-Achse begrenzt und die y-Achse hat bekanntlich die Gleichung x = 0. Da die Fläche vollständig oberhalb der x-Achse verläuft, können wir auf den Betrag um das Integral verzichten. Für den Flächeninhalt ergibt sich dann ein Ausdruck, der den Scharparameter k enthält. Diesen Ausdruck setzen wir danach gleich 4, denn die Fläche soll ja 4 FE großsein. So erhalten wir eine Gleichung mit der Unbekannten k, die wir nur noch nach k auflösen müssen.
Berechnung der Nullstellen von in Abhängigkeit von k:
Für 
ist der Radikand (der Ausdruck unter der Wurzel, also hier der Bruch 
) immer positiv, daher ist die Wurzel für beliebige positive Werte von k definiert. Es gibt somit für immer zwei Nullstellen bei 
und 
.
Abb.:Die Fläche A, welche durch die Schar mit den Koordinatenachsen im I. Quadranten eingeschlossen wird
Flächenberechnung in Abhängigkeit von k:
Die positive Nullstelle entspricht der oberen Integrationsgrenze. Die untere Grenze ist x = 0, d.h. die y-Achse.
Nun wirst du dir vielleicht denken:„Die obere Grenze ist ja fürchterlich! Geht das denn nicht einfacher?“ Leider kommen wir da nicht drum herum. Aber wir machen das gemeinsam, schön langsam, Schritt für Schritt.
Eine Stammfunktion zu lässt sich mit der Regel 
leicht finden. Weil es sich hier um ein bestimmtes Integral (Integral mit Grenzen) handelt, können wir „+ C“ einfach weglassen.
Da es sich bei um eine Funktionenschar handelt, treten verschiedene Buchstaben im Funktionsterm auf. Daher stellt sich die Frage:Muss hier nun nach x oder nach k integriert werden? Oder anders gefragt:Musst man dx oder dk hinter das Integral schreiben?
Merke:Man muss immer nach der Variablen integrieren und nicht nach dem Scharparameter. In anderen Worten:Wir integrieren bei dieser Aufgabe nach x und nicht etwa nach k. Die Variable ist bei dieser Funktionenschar, wie sonst auch, das x und nicht das k. (k ist nur der Scharparameter.) Konzentriere dich daher beim Integrieren nur auf die Potenzen von x;das k musst du dir dagegen als konkrete Zahl vorstellen. Wir kennen k zwar noch nicht, aber der Scharparameter k stellt grundsätzlich eine feste Zahl dar. Dass x bei wie üblich die Variable ist, erkennt man daran, dass es bei der Funktionsgleichung in der Klammer hinter 
steht. Der Scharparameter ist als Index geschrieben, also klein und tiefergesetzt;manchmal steht er auch gar nicht bei der Funktionsbezeichnung dabei. Die Schar könnte zum Beispiel statt 
auch bloß 
heißen.
