1. Flächenberechnungenmit Hilfe von Integralen

Um die Integrationsgrenzen herauszufinden, müssen vorab die Nullstellen der Schar in Abhängigkeit von k berechnet werden. In Abhängigkeit von k rechnen, das bedeutet, dass für k keine konkrete Zahl eingesetzt werden darf – man rechnet aber so, als wäre k eine bestimmte, feste Zahl. In den Ergebnissen wird k mit großer Wahrscheinlichkeit noch vorkommen.

Berechnung der Nullstellen in Abhängigkeit von k:

Wir klammern x aus. Dadurch entsteht eine Gleichung der Form „Produkt gleich Null“. Bekanntlich ist ein Produkt gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist. Es dürfen daher anschließend alle Faktoren des Produkts einzeln gleich Null gesetzt werden. So lässt sich die Gleichung leicht lösen.

Anmerkung:

Jetzt wird die Angabe k >1wichtig:Der Radikand (= Ausdruck unter der Wurzel) ist hier wegen k >1 immer positiv. Das ist wichtig, denn aus negativen Zahlen lässt sich die Wurzel nicht ziehen;die Wurzel ist bekanntlich für negative Zahlen unter der Wurzel nicht definiert. Erfreulicherweise gilt hier aber laut Angabe k >1und dann ist immer positiv, denn sowohl der Zähler 4k als auch der Nenner k – 1 sind für k >1 positiv;also ist auch der gesamte Bruch positiv. Die Wurzel ist also für k >1 sicher definiert;es existieren für k >1 immer drei Nullstellen:

Die zweite Nullstelle ist positiv, da das Ergebnis einer Wurzel grundsätzlich positiv ist, wenn der Radikand positiv ist. (Die Wurzel kann auch gleich Null sein, aber nur dann, wenn der Radikand gleich Null ist. Der Radikand würde aber nur für k = 0 Null ergeben, das ist aber wegen k >1 nicht möglich. Der Radikand ist hier somit immer größer Null und niemals gleich Null;das Ergebnis der Wurzel ist also ebenfalls sicher größer Null.)

Die dritte Nullstelle ist negativ, da die Wurzel alleine positiv ist und sich mit dem Minus davor immer etwas Negatives ergibt.

Bei allen drei Nullstellen handelt es sich um einfache Nullstellen (siehe auch:Vielfachheiten der Nullstellen). Der Graph schneidet die x-Achse also bei jeder der Nullstellen.

Zusammenfassend lässt sich sagen:

Es existieren für k >1 immer drei einfache Nullstellen. Bei schneidet der Graph die negative x-Achse. Ein weiteres Mal schneidet der Graph die x-Achse bei , also im Ursprung des Koordinatensystems. Die positive x-Achse schneidet der Graph bei .

Flächenberechnung in Abhängigkeit von k:

Gesucht ist die Fläche zwischen Funktionsgraph und der positiven x-Achse. Wir müssen deshalb von 0 bis zur positiven Nullstelle integrieren. Die negative Nullstelle brauchen wir nicht weiter.

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