Die Integralfunktion und der HDI

h. einen Punkt mit waagrechter Tangente und Vorzeichenwechsel von .

Wo der Graph von die x-Achse berührt, also nicht schneidet, d.h. wo eine doppelte Nullstelle hat, besitzt der Graph von F einen Terrassenpunkt, d.h. einen Punkt mit waagrechter Tangente ohne Vorzeichenwechsel von .

Die x-Koordinate der Nullstelle von f ergibt die x-Koordinate des Extremums bzw. Terrassenpunktes von F. Die y-Koordinate des Extremums / Terrassenpunktes von F entspricht natürlich nicht der y-Koordinate der Nullstelle von f, sondern der Flächenbilanz ausgehend von der unteren Grenze der Integralfunktion bis zum jeweiligen x-Wert.

Ist nur der Graph von f gegeben, kann die y-Koordinate eines Punktes von F nur grob geschätzt werden. Du versuchst dann die Flächenstücke oberhalb und unterhalb der x-Achse zu schätzen, indem du abzählst, wie viele Kästchen ungefähr hinein passen. Bei einem Maßstab von 1 cm auf beiden Achsen ergeben 4 Kästchen genau 1 .

Vorsicht bei den Vorzeichen:Nur wenn du von links nach rechts also in die „richtige“ Richtung, integrierst, zählen Flächenstücke oberhalb der x-Achse positiv und die unterhalb der x-Achse negativ.

Integrierst du in die andere Richtung – du musst ja immer von der vorgegebenen unteren Grenze von F ausgehen – drehen sich die Vorzeichen entsprechend um!

Nun wenden wir die soeben erwähnten Zusammenhänge auf unser Aufgabenbeispiel an.

Hier noch einmal der Graph der Funktion f.

Abb.:Graph

Wir lesen aus der Abbildung ab:Bei liegt eine doppelte Nullstelle von f vor;der Graph berührt schließlich im Ursprung die x-Achse. Bei hat f eine einfache Nullstelle;der Graph schneidet hier offensichtlich die x-Achse. Was lässt sich damit über den Graphen der Integralfunktion F sagen?

Nun muss die Art des Extremums von F bestimmt werden. Dazu untersuchen wir das Monotonieverhalten von F.

In der Abbildung des Graphen erkennt man, dass für und für oberhalb der x-Achse verläuft.

Für und gilt:

Außerdem sieht man, dass für unterhalb der x-Achse verläuft.

Für gilt:

Wir fassen das alles in einer Monotonietabelle von F zusammen:

x
	oberhalb der x-Achse	doppelte Nst.	oberhalb der x-Achse	einfache Nst.	unterhalb der x-Achse
	steigt	TEP	steigt	HOP	fällt

Aus dem Steigungsverhalten von F wird klar, dass bei ein Hochpunkt von F vorliegt.

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