Das Newton-Verfahren
Die Grundidee des Lösungsweges ist, dass der erste Näherungswert 
hier laut Angabe 
entsprechen muss. In der Aufgabe ist schließlich gegeben, dass sich die alternierende Folge 
für die Näherungswerte 
ergeben soll. Die Frage ist also, für welche Startwerte 
der erste Näherungswert 
mit 
übereinstimmt. Oder anders gesagt:Für welche Startwerte gilt beim Newton-Verfahren 
?
Die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens lautet für den ersten Näherungswert :
Nun ersetzen wir durch , denn es soll schließlich 
gelten. Das ergibt den Lösungsansatz *:
Ab jetzt kannst du die Aufgabe sicher alleine lösen. Versuche es doch gleich ´mal! Du musst dazu vorweg die Ableitung der Funktion 
mit der Quotientenregel bilden.
Zur Erinnerung:Die Quotientenregel wird nur bei Funktionen mit x im Nenner angewendet.
Du solltest folgendes Ergebnis erhalten haben:
Ausführlichere Erklärungen zum Ableiten von Funktionen mit x im Nenner findest du bei Weitere Ableitungsregeln.
Als nächstes ersetzen wir rein formal x durch , weil wir für unseren Lösungsansatz * die Ableitung an der Stelle benötigen, also 
und nicht die Ableitungsfunktion 
.
Außerdem brauchen wir 
, was man natürlich dadurch erhält, indem man x rein formal durch den (noch unbekannten) Startwert ersetzt. Das Ersetzen von x durch ist zwar ein rein formaler Schritt;doch bedenke, dass x eine Variable darstellt, aber eine konkrete Zahl ist, eben der gesuchte Startwert des Newton-Verfahrens, und keine Variable.
Jetzt setzen wir 
und 
in unseren Lösungsansatz * ein.
Wegen 
, ergibt sich:
Diese Gleichung müssen wir nach auflösen, um die gesuchten beiden Startwerte zu erhalten. (Die Gleichung muss demnach wohl zwei Lösungen haben.) Vorweg vereinfachen wir den Doppelbruch auf der rechten Seite der Gleichung. Den Hauptbruchstrich (den längsten Bruchstrich) sehen wir dabei als normales Geteilt-Zeichen an. Es soll also der Bruch oberhalb des Hauptbruchstrichs durch den Bruch unterhalb des Hauptbruchstrichs geteilt werden. Du weißt:Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert dieses Bruchs multipliziert. Für uns bedeutet das, dass wir mit dem Kehrwert des Bruchs unterhalb des Hauptbruchstrichs multiplizieren müssen. Damit du das besser nachvollziehen kannst, werden im Folgenden alle einzelnen Schritte gezeigt. Du musst sie aber nicht alle aufschreiben, wenn du alleine rechnest.
Nun kürzen wir soweit möglich.
