Das Newton-Verfahren
Für Schüler, welche die Kettenregel bereits kennen und die sich für den rechnerischen Nachweis interessieren:Rechnerischer Nachweis zu Bsp. 4, dafür dass sich beim Newton-Verfahren für 
mit beliebigen Startwerten 
die alternierende Folge 
ergibt
An diesem Beispiel konntest du sehen, dass das Newton-Verfahren nicht immer funktioniert. Allerdings stellt das letzte Beispiel einen extremen, jedoch interessanten Sonderfall dar.
In den meisten anderen Fällen liefert das Newton-Verfahren bei Gleichungen der Form 
allerdings relativ schnell ganz gute Näherungswerte, zumindest dann wenn der Startwert in der Nähe der gesuchten Lösung liegt und der Graph von 
in der Umgebung des Startwertes nicht zu flach verläuft. Dementsprechend solltest du deinen Startwert wählen, falls er nicht schon in der Aufgabenstellung gegeben ist.
Ob du den Startwert in die oben gezeigte Konvergenzbedingung einsetzen willst, bevor du mit dem Newton-Verfahren beginnst, bleibt dir selbst überlassen. Wahrscheinlich ist es für dich besser, komplett auf das Einsetzen in die Konvergenzbedingung zu verzichten, denn die Formel ist doch recht kompliziert und sie steht nicht auf der Merkhilfe für das G8. Du müsstest sie somit auswendig lernen und außerdem müsstest du streng genommen jeden berechneten Näherungswert wieder mit der Konvergenzbedingung kontrollieren. Das ist viel Arbeit;da kann man stattdessen auch gleich versuchen die Näherungswerte direkt mit der Iterationsformel auszurechnen und dann schauen, ob sie sich an den gesuchten Wert annähern. Da die Formel der Konvergenzbedingung für die Abitur-Prüfung sowieso nicht wirklich wichtig ist, kannst du auf sie also getrost verzichten. (Du solltest hier eigentlich nur gezeigt bekommen, dass es überhaupt eine Möglichkeit gibt, vorher festzustellen, ob sich der nächste Näherungswert bei einem bestimmten Startwert tatsächlich an die gesuchte Lösung annähert oder nicht, ohne den Näherungswert tatsächlich gleich auszurechnen.)
Für Schüler, welche die Quotientenregel schon gelernt haben, abschließend noch ein etwas anspruchsvolleres Beispiel zur Wahl des Startwertes beim Newton-Verfahren.
5. Bsp.:
Wendet man bei der Funktion 
zur Nullstellenberechnung das Newton-Verfahren an, gibt es zwei von Null verschiedene Startwerte, mit denen sich für die Näherungswerte eine alternierende Folge der Form 
ergibt. Ermittle diese beiden Startwerte!
Lösung:
Diese Aufgabe ist wirklich nicht so einfach.
