Differenzierbarkeit/Differenzierbare Funktion

Mit f´(x) ist die erste Ableitung der Funktion f, also ihre Steigung gemeint.

Sprich:„Limes von x gegen von rechts von f Strich von x“

Das Größer-Zeichen über dem Pfeil zwischen x und bedeutet:Annäherung an die Stelle von rechts. x ist also ein klein wenig größer als der feste Zahlenwert . Man nähert sich daher von rechts an die „Problemstelle“ an.

Sprich:„Limes von x gegen von links von f Strich von x“

Das Kleiner-Zeichen über dem Pfeil zwischen x und bedeutet:Annäherung an die Stelle von links. x ist also etwas kleiner als der feste Zahlenwert . Man nähert sich daher von links an die „Problemstelle“ an.

Oben gezeigte Definition noch einmal in Worten:Ist das Ergebnis des Limes von rechts der ersten Ableitung gleich dem Limes von links, ist eine stetige Funktion an der Stelle differenzierbar, d.h. sie hat dort keinen Knick. Die Teilfunktionen einer teilweise definierten Funktion gehen „weich“ ineinander über.

Beispiele:

	Die Funktion ist an der Stelle stetig (keine Sprungstelle), aber nicht differenzierbar (Knick).
	Die Funktion ist an der Stelle stetig (keine Sprungstelle) und differenzierbar (kein Knick), aber an der Stelle nicht stetig (Sprungstelle) und daher auch nicht differenzierbar.

Die rechnerische Untersuchung der Differenzierbarkeit, also die Berechnung von und , geschieht entweder mit der h-Methode oder einfacher durch Einsetzen von in die erste Ableitung sowohl der einen als auch der anderen Teilfunktion einer teilweise definierten Funktion. Nachdem die Stetigkeit an der Stelle nachgewiesen wurde, leitet man also die einzelnen Teilfunktionen mit Hilfe der Ableitungsregeln ab. Dann setzt man nacheinander in die einzelnen Ableitungen der beiden Teilfunktionen, die an der Stelle zusammenstoßen, ein. Ergibt sich dabei zweimal das gleiche Ergebnis, ist die Funktion an der Stelle differenzierbar.

Beispiel:          f(x) =

Es soll überprüft werden, ob die Funktion f an der Stelle differenzierbar ist.

1. Schritt:        Untersuchung der Stetigkeit

Es müssen die Grenzwerte der Funktion f(x) für und sowie der Funktionswert f(-1) berechnet werden.

Es ergibt sich immer das gleiche Ergebnis. Daher ist die Funktion f an der Stelle stetig.

2. Schritt:        Untersuchung der Differenzierbarkeit

Die Funktion wird zuerst abgeleitet, damit danach die Grenzwerte der Ableitung für und berechnet werden können.

Es ergibt sich zweimal der selbe Wert. Die Funktion hat also von links und von rechts bei die gleiche Steigung. Daher ist die Funktion f an der Stelle differenzierbar. Der Graph hat keinen Knick;er verläuft „weich“.

Mehr zum Thema Differenzierbarkeit findest du im Bereich Analysis im Kapitel Stetigkeit und Differenzierbarkeit.

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