Die ln-Funktion spiegeln, stauchen/strecken und verschieben

Der Graph der Funktion kann durch verschiedene Abbildungen verändert werden, z.B. durch Spiegelung an einer Achse oder Spiegelung am Ursprung, Verschiebung nach oben oder unten bzw. zur Seite nach links oder rechts und eventuell Stauchung oder Streckung entlang einer Koordinatenachse. Wie muss der Funktionsterm verändert werden, damit durch eine oder mehrere dieser Abbildungen entsteht?

Als erstes wollen wir immer nur eine einzige Abbildung durchführen. Nachher schauen wir uns an, was man mit dem Funktionsterm machen muss, um gleich mehrere Abbildungen nacheinander durchzuführen. Wir gehen dabei jeweils vom Graph der Funktion aus.

Spiegelung von an der x-Achse:

(Der rosafarbene Graph der Funktion entsteht, wenn man den blauen Graph der Funktion an der x-Achse spiegelt.)

Spiegelung von an der y-Achse:

(Der rosafarbene Graph der Funktion entsteht, wenn man den blauen Graph der Funktion an der y-Achse spiegelt.)

Spiegelung von am Ursprung:

(Der rosafarbene Graph der Funktion entsteht, wenn man den blauen Graph der Funktion am Ursprung spiegelt. Das entspricht auch einer Spiegelung an der x- und y-Achse.)

Verschiebung von nach oben oder unten:

(Der Graph der Funktion entsteht, wenn man um d nach oben bzw. unten verschiebt.)

1. Bsp.:Verschiebung von um 2 nach oben:

2. Bsp.:Verschiebung von um 3 nach unten:

Verschiebung von nach links oder rechts:

(Der Graph der Funktion entsteht, wenn man um c nach links oder rechts verschiebt.)

1. Bsp.:Verschiebung von um 1 nach links:

2. Bsp.:Verschiebung von um 4 nach rechts:

Stauchung bzw. Streckung von entlang der y-Achse:

Dabei gilt:

(Der Graph der Funktion entsteht, wenn man entlang der y-Achse mit dem Faktor a staucht oder streckt.)

1. Bsp.:Streckung von entlang der y-Achse mit dem Faktor 2:

2. Bsp.:Stauchung von entlang der y-Achse mit dem Faktor 0,5:

Stauchung bzw. Streckung von entlang der x-Achse:

Dabei gilt:

(Der Graph der Funktion entsteht, wenn man entlang der x-Achse mit dem Faktor staucht oder streckt.)

1. Bsp.:Stauchung von entlang der x-Achse durch b = 2, also mit dem Faktor :

2. Bsp.:Streckung von entlang der x-Achse durch b = 0,5, also mit dem Faktor :

Nun alles auf einmal:Durch welche Abbildungen entsteht aus dem Graph der Funktion der Graph der Funktion ?

Wichtig:Die im Folgenden beschriebenen Abbildungen müssen in genau der angegebenen Reihenfolge durchgeführt werden, ansonsten wird das Ergebnis eventuell falsch! Wir arbeiten uns systematisch von innen nach außen vor, d.h. in der Reihenfolge b, c , a , d. Dieses Prinzip wurde bereits bei den Abbildungen der e-Funktion besprochen. (Siehe auch:Das Wichtigste zur e-Funktion) Nun das Ganze noch einmal auf die ln-Funktion angewendet.

• Spiegelung an der y-Achse (nur wenn b negativ ist)
• Stauchung/Streckung entlang der x-Achse mit dem Faktor
• Verschiebung um zur Seite (nach links, wenn c positiv ist – nach rechts, wenn c negativ ist)
• Spiegelung an der x-Achse (nur wenn a negativ ist)
• Stauchung/Streckung entlang der y-Achse mit dem Faktor
• Verschiebung um in y-Richtung (nach oben, wenn d positiv ist – nach unten, wenn d negativ ist)

Zum Koeffizienten b

Ist der Koeffizient b negativ, muss der Graph als erstes an der y-Achse gespiegelt werden.

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