Funktionsgleichungen mit gegebenen Eigenschaften aufstellen und Funktionen modellieren

Andere Formulierung:Nullstelle bei

(Der Buchstabe a steht hier für eine konkret angegebene Zahl.)

(Der Buchstabe a steht für eine konkrete Zahl und steht für einen konkret angegebenen Winkel.)

Andere Formulierung:Waagrechte Tangente bei

(Der Buchstabe b steht hier für eine konkret angegebene Zahl.)

Andere Formulierung:Maximum oder Minimum im Punkt

(Die Buchstaben b und c stehen für die Koordinaten des angegebenen Hoch- bzw. Tiefpunktes, d.h. für konkrete Zahlen.)

Andere Formulierung:Flachpunkt bei

oder „der Graph verläuft an der Stelle am flachsten bzw. steilsten“

(Die Bezeichnung steht hier für die angegebene x-Koordinate des Wendepunktes, also für eine konkrete Zahl.)

Andere Formulierung:

Flachpunkt

(Die Bezeichnungen und stehen für die angegebenen Koordinaten des Wendepunktes bzw. Flachpunktes, also für konkrete Zahlen.)

Andere Formulierung:Terrassenpunkt

(Mit dem Buchstaben d ist die angegebene x-Koordinate des Terrassenpunktes gemeint.)

Vergleiche 3. Bsp.!

(Mit den Buchstaben d und e sind die Koordinaten des angegebenen Terrassenpunktes gemeint.)

Andere Formulierung:Die Funktion hat an der Stelle die Steigung m.

(Mit dem Buchstaben a ist die x-Koordinate des Kurvenpunktes gemeint, wo die Steigung den gegebenen Wert m hat. a und m sind also konkrete Zahlen. Auch t stellt eine konkrete Zahl dar. t steht für den y-Achsenabschnitt der angegeben Gerade, also der Parallele zur Tangente. t ist eine unnötige Angabe;man braucht t hier gar nicht.)

Achtung: Die y-Koordinate des Wendepunktes ist zwar nicht direkt angegeben, sie kann jedoch leicht berechnet werden, indem man die gegebene x-Koordinate des Wendepunktes in die Wendetangente einsetzt.Dadurch sind dann die Koordinaten des Wendepunkts bekannt. Vergleiche 2. Bsp.!

(Mit ist hier die gegebene x-Koordinate des Wendepunktes, also eine konkrete Zahl gemeint. Der Buchstabe m steht für die gegebene Steigung der Wendetangente und t für den y-Achsenabschnitt. m und t sind also auch konkrete Zahlen.)

mit , d.h. du musst die gegebende x-Koordinate des Wendepunkts in die Wendetangente einsetzen. So erhältst du die y-Koordinate des Wendepunktes. Damit ergibt sich dann die dritte Information .

.

Andere Formulierung:Die Funktion hat im Punkt die Steigung m.

(Mit a, b und m sind konkrete, angegebene Zahlen gemeint.)

Hinweis: Zwei Funktionen, die sich bei berühren und nicht bloßschneiden, haben an dieser Stelle sowohl die gleichen Funktionswerte und , als auch die gleichen Steigungen und . Vergleiche 6. Bsp.!

Andere Formulierung:

Der Graph schneidet die y-Achse bei t und hat dort die Steigung m. Oder:Der Graph schneidet die y-Achse bei t und die Tangente

ist parallel zur Geraden .

(Mit m und t sind konkrete Zahlen gemeint. Dabei stellt m die Steigung der Tangente dar und t den y-Achsenabschnitt. Auch mit ist eine konkrete Zahl gemeint. ist eine völlig irrelevante Angabe, da hier nur den y-Achsenabschnitt einer zur Tangente parallelen Gerade darstellt. Sind zwei Geraden parallel zueinander, haben sie die gleiche Steigung. Daher weißman die Steigung der Tangente. braucht man gar nicht.)

Erklärung:

Jeder Punkt, der auf der y-Achse liegt, hat die x-Koordinate , weil man auf der x-Achse weder nach links noch nach rechts geht. Daher weißman, dass die x-Koordinate des Schnittpunkts mit der y-Achse ist. Seine y-Koordinate kann berechnet werden, indem man die x-Koordinate in die Tangentengleichung einsetzt. (Der Punkt liegt ja sowohl auf dem Graphen als auch auf der gegebenen Tangente .) So ergibt sich:

Daher gilt:

Die Steigung im Schnittpunkt mit der y-Achse, also an der Stelle , entspricht der Tangentensteigung m. Die Steigung von ist die erste Ableitung an dieser Stelle, in diesem Fall beim Schnittpunkt mit der y-Achse, also bei . Deshalb gilt:

Merke: Die Angabe „Schnittpunkt mit der y-Achse“ entspricht „an der Stelle “.