1. Flächenberechnungenmit Hilfe von Integralen
Substitution: 
Nun liegt eine gemischtquadratische Gleichung mit der Unbekannten u vor. (Eine gemischtquadratische Gleichung enthält die Unbekannte zum Quadrat und ohne Potenz.) Wir lösen sie mit der Lösungsformel für gemischtquadratische Gleichungen, der sogenannten Mitternachtsformel.
Rücksubstitution (d.h. wieder zurück zu x):Wir müssen jetzt für u einmal den Wert 1 und einmal den Wert 5 in 
einsetzen. Dann lösen wir jeweils nach x auf und schon haben wir die Nullstellen der Funktion 
berechnet.
Es gibt somit vier, jeweils einfache Nullstellen. (Siehe auch:Vielfachheiten der Nullstellen) Du weißt sicher:Bei einer einfachen Nullstelle schneidet der Graph die x-Achse und berührt sie nicht nur. Der Graph 
schneidet daher die x-Achse bei 
und bei 
.
Nun können wir uns den Verlauf des Graphen überlegen. Da im Funktionsterm nur gerade Potenzen von x vorkommen, wissen wir, dass ihr Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist. (Siehe auch:Symmetrie) Vergleiche Abbildung!
Wenn du Schwierigkeiten hast, dir den Verlauf von selbstständig vorzustellen:Hilfreiche Vorüberlegungen dazu bei Tipps zum Zeichnen dieser Funktion
Abb.:Der Graph der Funktion schließt mit der x-Achse die grün unterlegte Fläche ein.
Selbst kannst du den Graph exakt mit Hilfe einer Wertetabelle zeichnen, doch an sich reicht für unsere Zwecke auch eine grobe Skizze.
Berechnung der Fläche
Es soll die gesamte Fläche berechnet werden, die von mit der x-Achse eingeschlossen wird. (In der Abbildung oben grün unterlegt) Diese Fläche setzt sich aus drei Flächenstücken zusammen. Wir müssen von Nullstelle zu Nullstelle integrieren, von der allerkleinsten zur nächstgrößeren usw.
Nur das mittlere Flächenstück liegt unterhalb der x-Achse. Das Integral 
ergibt daher einen negativen Wert. Um wirklich den Flächeninhalt des mittleren Flächenstücks zu erhalten, ist der Betrag um dieses Integral zwingend notwendig. Die anderen beiden Flächenstücke liegen oberhalb der x-Achse. Die Integrale 
und 
ergeben auch ohne Betrag jeweils positive Werte, d.h. den Flächeninhalt des jeweiligen Flächenstücks. Wir können die Betragsstriche bei diesen beiden Integralen weglassen.
Du könntest nun die drei Integrale berechnen, vom mittleren den Betrag nehmen, also das Minus des Ergebnisses weglassen, und dann alles addieren. Doch das dauert sehr lang. Wir wollen hier lieber einen kürzeren Weg verwenden.
Wir nutzen einfach die Symmetrie der Funktion aus. Die Flächenstücke links von der y-Achse sind doch genauso großwie diejenigen, die rechts von der y-Achse liegen. Daher berechnen wir bloßdiejenige Fläche, die rechts von der x-Achse liegt, und verdoppeln das Ergebnis. (Man könnte natürlich auch die Fläche links von der y-Achse berechnen und verdoppeln, doch muss man dann mit negativen Grenzen rechnen. Gerade mit negativen Grenzen passieren vielen Schülern leicht Vorzeichenfehler. Wir entscheiden uns daher für die andere Variante mit positiven Grenzen.) Wir integrieren von der y-Achse x = 0 ausgehend zur ersten positiven Nullstelle x = 1 und dann von x = 1 bis zur nächstgrößeren Nullstelle 
. (Vergleiche dazu noch einmal die Skizze des Graphen!)
