Das Wichtigste zur e-Funktion
Entsprechend ergibt sich für x = 4 der noch höhere Funktionswert: 
Daran siehst du, wie schnell die Funktionswerte von 
mit wachsendem x zunehmen. Der Graph verläuft für große, positive x-Werte sehr steil. Betrachte dazu die folgende Abbildung!
Abb.:Graph 
der natürlichen Exponentialfunktion
Schnittpunkt mit der y-Achse:
Die e-Funktion schneidet die y-Achse offensichtlich im Punkt (0|1). Das folgt aus:
Schnittpunkte mit der x-Achse, Nullstellen:
Es existieren keine Schnittpunkte der e-Funktion mit der x-Achse, also keine Nullstellen. Der Graph schmiegt sich für x gegen 
zwar beliebig nah an die x-Achse an, schneidet sie jedoch nie. (Die x-Achse ist für x gegen waagrechte Asymptote. Obwohl es in der Abbildung oben so wirkt, als würde der Graph der e-Funktion die x-Achse berühren, ist das in Wirklichkeit nicht der Fall. liegt immer oberhalb der x-Achse und kommt niemals ganz an die x-Achse heran!)
Verhalten von 
an den Rändern der Definitionsmenge:
An Hand des Graphen überlegen wir uns nun das Verhalten von an den Rändern der Definitionsmenge 
, also das Verhalten von für x gegen 
und . (Definitionslücken gibt es hier schließlich keine. Daher entspricht hier das Verhalten an den Rändern von 
dem Verhalten im Unendlichen.)
Man erkennt, dass für sehr große x extrem große Funktionswerte y annimmt. Daher gilt:
Wichtig:Die e-Funktion wächst schneller als jede Potenzfunktion und schneller als jedes Polynom, d.h. sie geht für große x schneller gegen Unendlich als beispielsweise die Potenzfunktionen 
oder 
! Für x gegen Unendlich gehen auch oder gegen Unendlich, aber eben nicht so schnell wie die Funktion . Auf der Tatsache, dass die natürliche Exponentialfunktion schneller wächst als jede Potenz- oder Polynomfunktion, basieren die Berechnungen vieler schwieriger Grenzwerte mit 
. (Siehe Abschnitt:Grenzwerte von e- und ln-Funktionen)
Nun zum Verhalten von für x gegen :Bereits an der oben gezeigten Wertetabelle erkennt man, dass sich die y-Werte immer mehr an die Zahl Null annähern, wenn man für x immer kleinere (stark negative) Zahlen einsetzt. Für sehr kleine x ergeben sich also y-Werte, die nahezu Null sind. (Mit „sehr klein“ ist hier gemeint, dass die x-Werte ganz weit links auf der Zahlengeraden liegen, also x gegen .) Auch an den berechneten Werten für x = -3 und x = -2 ist das schon zu erkennen. 
Die Funktionswerte für x gegen gehen also gegen Null;sie bleiben aber immer positiv.
