Die Stammfunktion F(x) und einfache Integrationsregeln

Nur für Schüler, welche die Zweite Ableitungbereits gelernt haben:

Wenn F eine Stammfunktion zu ist, gilt nicht nur , sondern entsprechend auch . Die zweite Ableitung einer Funktion entspricht, wie du weißt, ihrer Krümmung. Daher beschreibt die Krümmung der Stammfunktion F.

Die erste Ableitung einer Funktion entspricht bekanntlich der Steigung dieser Funktion. Deshalb beschreibt die Steigung der Funktion .

Daher bedeutet anschaulich:  Die Krümmung von F an einer bestimmten Stelle entspricht der Steigung von an derselben Stelle.

Daraus ergeben sich die folgenden Zusammenhänge der Graphen und :

Wo der Graph links gekrümmtist, ist die zweite Ableitung der Stammfunktion  positiv, und entsprechend auch die Steigung von an dieser Stelle positiv, d.h. dort ist der Graph streng monoton steigend.

Wo der Graph rechts gekrümmtist, ist die zweite Ableitung der Stammfunktion  negativ und somit ist auch die Steigung von an dieser Stelle negativ, d.h. dort ist der Graph streng monoton fallend.

Wo der Graph einen Wendepunkt hat, wechselt die zweite Ableitung der Stammfunktion ihr Vorzeichen und es gilt . Somit wechselt auch die erste Ableitung von an dieser Stelle ihr Vorzeichen und für die Steigung von an dieser Stelle gilt , was bedeutet, dass der Graph dort ein Extremum besitzt.

Die Steigung der Wendetangente der Stammfunktion F ist . Wegen entspricht die Steigung der Wendetangente von F  der y-Koordinate des Extrempunktes der zugehörigen Funktion . Dabei ist mit die x-Koordinate des Wendepunktes von F gemeint. ist natürlich auch die x-Koordinate des Extremums von . F hat schließlich an der Stelle einen Wendepunkt, wo ein Extremum hat. Die x-Koordinate des Wendepunktes von F ist identisch mit der x-Koordinate des Extremums von ;die y-Koordinaten sind jedoch in der Regel nicht gleich.

Zusammenfassung der wichtigsten Zusammenhänge von und
Graph einer Stammfunktion			Graph der zugehörigen Funktion
		Steigung von F = Funktionswert d.h. y-Koordinate von
Punkt mit waagrechter Tangente von F an der Stelle (Mit ist eine konkrete Zahl gemeint.)			Nullstelle von an der Stelle (Mit ist eine konkrete Zahl gemeint.)
mit Vorzeichenwechsel von Extremum (Hochpunkt oder Tiefpunkt) von F an der Stelle			mit Vorzeichenwechsel von Einfache Nullstelle von an der Stelle , d.h. schneidet die x-Achse
ohne Vorzeichenwechsel von Terrassenpunkt von F an der Stelle			ohne Vorzeichenwechsel von Doppelte Nullstelle von an der Stelle , d.h. berührt die x-Achse bei und hat dort einen Extrempunkt (Hochpunkt oder Tiefpunkt)
Graph streng monoton steigend			Graph oberhalb der x-Achse
Graph streng monoton fallend			Graph unterhalb der x-Achse
	Nur für Schüler, welche die zweite Ableitung schon kennen: Krümmung von F = Steigung von
mit Vorzeichenwechsel von Wendepunkt von F an der Stelle			mit Vorzeichenwechsel von Extrempunkt (Hochpunkt oder Tiefpunkt) von an der Stelle
Graph linksgekrümmt			Graph streng monoton steigend
Graph rechtsgekrümmt			Graph streng monoton fallend

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