Die Stammfunktion F(x) und einfache Integrationsregeln
Richtig, nur Abb. 7b.) und 7f.) zeigen Graphen, die bei _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_310.png)
und bei _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_354.png)
jeweils ein Extremum besitzen. Welche Abbildung zeigt nun den Graph einer Stammfunktion F zu _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion.png)
?
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_334.png)
Abb. 7b.) Graph einer Stammfunktion |
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_336.png)
Abb. 7f.) Graph einer Stammfunktion |
An Abb. 7.1 erkennt man auch, dass _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_148.png)
für _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_322.png)
und für _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_360.png)
unterhalb der x-Achse verläuft. Die zugehörige Stammfunktion F muss deshalb für und für fallen. Umgekehrt liegt für _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_362.png)
oberhalb der x-Achse. Für muss der Graph der Stammfunktion F daher steigen. Diese Bedingung erfüllt nur der in Abb. 7b.) gezeigte Graph.
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_363.png)
Abb. 7b.) zeigt den Graph einer Stammfunktion _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_27.png)
zu .
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_365.png)
Abb.:Der Graph _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_365.png)
und der Graph _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_366.png)
der zugehörigen Stammfunktion F gemeinsam dargestellt
Weiter mit der Funktion _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_92.png)
. Ihr Graph ist in Abb. 7.2 zu sehen. Wir suchen wieder zuerst die Nullstellen von . Außerdem achten wir auf die Vielfachheit der Nullstellen. Wird die x-Achse vom Funktionsgraph geschnitten, liegt eine einfache Nullstelle vor. Hier ändert sich das Vorzeichen des Funktionswertes. Wird die x-Achse nur berührt, handelt es sich um eine doppelte Nullstelle von . Bei einer doppelten Nullstelle ändert die Funktion ihr Vorzeichen nicht. Bei allen Nullstellen von gilt _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_368.png)
und wegen _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_93.png)
gilt dort für die Ableitung einer zugehörigen Stammfunktion _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_369.png)
. Die Steigung der Stammfunktion ist an dieser Stelle also gleich Null, d.h. die Stammfunktion hat an dieser Stelle eine waagrechte Tangente.
Bei einer einfachen Nullstelle von ändert sich das Vorzeichen von und entsprechend das Vorzeichen von _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_371.png)
, so dass eine Stammfunktion an dieser Stelle ein Extremum haben muss.
Bei einer doppelten Nullstelle von ändert sich das Vorzeichen von nicht und entsprechend auch nicht das Vorzeichen von , so dass eine Stammfunktion an dieser Stelle einen Terrassenpunkt besitzen muss.
Hier noch einmal die Abbildung, die den Graph _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_373.png)
der Funktion zeigt:
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_374.png)
Abb. 7.2 Graph der Funktion _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_332.png)
Überlege dir nun selbst, was du mit Hilfe dieser Abbildung sofort über eine Stammfunktion G zu sagen kannst!
Das Folgende kann man sofort erkennen:
Der Graph der Funktion schneidet bei die x-Achse (einfache Nullstelle von _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_377.png)
);die zugehörige Stammfunktion G muss deshalb bei ein Extremum haben.
Außerdem berührt der Graph bei die x-Achse (doppelte Nullstelle von );die zugehörige Stammfunktion G muss deshalb bei einen Terrassenpunkt haben.
Nun schau doch gleich mal, welche der Abbildungen 7a.) bis 7f.) die Bedingungen „Extremum bei “ und „Terrassenpunkt bei “ erfüllen!
